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{{unreferenced|time=2013-01-16T21:36:26+00:00}}
'''消失矩'''(Vanishing Moments)，在連續小波變換(Continuous Wavelet Transform)，是一項非常重要的參數，用來檢視母小波(Mother wavelet)是否為高頻的函數。

Vanish moment  越高，經過內積後被濾掉的低頻成分越多

在實務上，Vanish moment=5

== 由來 ==
在連續小波變換中，母小波有4個主要限制如下。

1. 有值區間必須是有限的(Compact Support): 

::母小波不能是一個無限長的函數。

2. 必須是實函數(Real) : 
::因為要處理的影像不會是複數信號，且為了方便計算。

3. 偶對稱(Even Symmetric)或是奇對稱(Odd Symmetric)

4. 消失矩越高越好:  

這項是最難滿足的一項。 

5. 
:Admissibility Criterion 要存在才存在反小波轉換
:
== 定義 ==

首先定義第 <math>k</math> 個動量( <math>k_{th}</math> moment): 

 <math> m_k = \int t^k\psi(t)\, dt </math>

若 <math> m_0 = m_1 = m_2 = ... = m_{p-1} = 0 </math>，

則我們說 <math>\psi(t)</math> 有 <math>p</math> 個消失矩。

== 如何計算消失矩 ==

我們可以看到 <math>m_k = \int t^k\psi(t)\, dt</math> 不太好計算，尤其是 <math>k</math> 很大的時候。

此時，可以善用[[傅立葉轉換]]來進行計算。

=== 計算第0個動量 ===

首先，觀察[[傅立葉轉換]]的公式:

 <math>G(f) = \int g(t)e^{-j2 \pi ft}\, dt</math>

當令<math> f=0 </math>時，可以看到以上公式變成:

 <math>G(0) = \int g(t)\, dt</math>

正是第0個動量 <math>m_0</math>。

因此，若要計算 <math>g(t)</math> 的第0個動量，可以先計算 <math>g(t)</math> 的傅立葉轉換，再取直流項(也就是 <math> f=0 </math> )。

=== 計算第k個動量 ===

我們可以同樣利用[[傅立葉轉換]]來計算第 <math>k</math> 個動量。

首先，傅立葉轉換有一個性質: 在頻域微分  <math>k</math> 次，就相當於時域乘上 <math>t^k</math> :

 <math>\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(f) = \int t^kg(t)e^{-j2 \pi ft}\, dt</math>

當令<math> f=0 </math>時，可以看到以上公式變成:

 <math>\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt</math>

正是第 <math>k</math> 個動量 <math>m_k</math>。

因此，若要計算 <math>g(t)</math> 的第k個動量，可以先計算 <math>g(t)</math> 的傅立葉轉換的k次微分，再取直流項(也就是 <math> f=0 </math> )。

==一些常用函數的消失矩==
分成兩類'''連續函數'''與'''連續函數的離散係數'''

* 連續函數:哈爾基底、墨西哥帽函數
* 連續函數的離散係數''':'''多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet

===連續函數===
[[哈爾小波轉換]]是最簡單的一種小波轉換，使用哈爾基底(Haar Basis)來做母小波。

而墨西哥帽函數(Mexican hat function)也常被用來當母小波。

==== 哈爾基底 ====

哈爾基底的數學表示式如下: 

 <math>\psi(t) =  \begin{cases}1 \quad & 0 \leq  t < 1/2,\\
 -1 & 1/2 \leq t < 1,\\0 &\mbox{otherwise.}\end{cases}</math>

<math>\psi(t)</math> 是一個奇函數，所以

 <math>m_0= \int \psi(t)\, dt =0</math>

但 <math>t\psi(t)</math> 是偶函數，所以

 <math>m_1= \int t\psi(t)\, dt \neq 0</math>

因此，'''哈爾基底'''的'''消失矩為1'''。

==== 墨西哥帽函數 ====

墨西哥帽函數的數學表示式:

 <math> \psi(t)=\frac{2^{5/4}}{\sqrt{3}}(1-2 \pi t^2)e^{- \pi t^2} </math>

仔細觀察，<math>\psi(t)</math> 其實是高斯函數的二次微分:

 <math>\psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2}, C= </math> 常數。 

而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數:

 <math>\psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2} \to -C4 \pi ^2 f^2 e^{- \pi f^2} </math>。

利用

 <math>\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt</math>

可以算出

 <math>m_0=m_1=0, m_2 \neq 0</math>。

所以'''墨西哥帽函數'''的'''消失矩為2'''。

==== 高斯函數的p次微分 ====

墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分，所以消失矩為2。

當

 <math>\psi(t) = \frac{d^p}{dt^p}e^{- \pi t^2}</math>

其傅立葉轉換為

 <math>(j2 \pi f)^p e^{- \pi f^2} </math>。

利用

 <math>\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt</math>

可以算出

 <math>m_0=m_1=m_{p-1}, m_p \neq 0</math>。

所以'''高斯函數p次微分'''的'''消失矩為p'''。

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=== 連續函數的離散係數 ===

[[多貝西小波]](Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet都是一些常用的離散小波，而且都是由連續小波的離散係數推導而來。

且這三種都是orthonormal filters

==== 多貝西小波 ====

 <math>2n </math> 點的多貝西小波，消失矩 <math>=n </math>

==== Symlet ====

 <math>2n </math> 點的Symlet，消失矩 <math>=n </math>
'''Coiflet'''
 <math>6n </math> 點的Coiflet，消失矩 <math>=n </math>
'''三者的比較'''

# Symlet和多貝西小波非常類似，但是比多貝西小波還要對稱。
# Coiflet 在scaling function 存在 vanish moment.

<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}  \phi(t)\, dt \neq0</math>                           

<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}  t^k\phi(t)\, dt =0   for 1 \leq k \leq p</math>

==消失矩對於函數的意義==

消失矩是用以判斷一個函數如何遞減的指標。舉例來說，對於函數

 <math>f(t) = \frac{\sin(t)}{t^2}</math>

當輸入值<math> t </math>逐漸往無限大增加時，此函數會以<math>\frac{1}{t^2}</math>的速率遞減。
我們可用利用定義中的動量積分式<math>\int_{-\infty}^{\infty} t^k f(t)\, dt</math>來評估此函數的遞減速率。

回到此範例中的函數，當<math>k=0</math>時，由於分子<math>\sin(t)</math>會在<math>[-1,1]</math>之間震盪，使得整個函數在<math>[-\frac{1}{t^2},\frac{1}{t^2}]</math>震盪。

此性質使得<math> k=0</math>時，

 <math> \int_{-\infty}^{\infty} t^k (\frac{\sin(t)}{t^2})\, dt \to 0</math> 

函數積分式必定會收斂於0，代表第0個動量<math> m_0 = 0 </math>

當<math> k = 1</math>時，
 
 <math>\int_{-\infty}^{\infty} t^k (\frac{\sin(t)}{t})\, dt = \pi</math>

因此第1個動量<math> m_1 = \pi \neq 0</math>

對於<math>k > 1 </math>的情況，動量積分式均會隨著<math> t \to\infty </math>而發散。

由以上的範例，我們可藉由能夠讓動量積分式收斂為0的最大<math>k</math>值來判斷函數的遞減速率，而此最大<math>k</math>值便是函數的消失矩。

在連續小波轉換中，設計母小波的其中一個條件是有值區間比須是有限的，而母小波在有值區間內如何遞減的特性，則可由消失矩來描述。

==消失矩的等價敘述==
依照定義，小波母函數<math>\psi(t)</math>有 <math>p</math> 個消失矩的條件為

 <math>\int_{-\infty}^{\infty} t^k \psi(t)\, dt = 0,\ for\ 0\leq k < p </math>

然而由於此定義中包含了一個無限範圍的連續積分，因此在設計小波母函數上並不實用。

若定義小波轉換中的尺度函數為<math> \varphi(t) </math>，當以下小波母函數和尺度函數的關係成立時，

 <math>\left| \psi(t) \right| = O((1+t^2)^{-p/2-1}) </math>

 <math>\left| \varphi(t) \right| = O((1+t^2)^{-p/2-1}) </math>

下列四項敘述便是等價的：

1. 小波母函數<math> \psi(t) </math>有<math>p</math>個消失矩。

2. <math> \psi(t) , \ \varphi(t) </math>的傅立葉轉換，以及前<math>p - 1</math>次微分在<math> \omega = 0</math>處均為零。

3. <math> h_\varphi (t) , \ H_\varphi (e^{j\omega}) </math>的傅立葉轉換，以及前<math>p - 1</math>次微分在<math> \omega = 0</math>處均為零。

4. 對於<math> 0 \leq k < p </math> 區間內的任意<math> k </math>值

::<math> q_k (t) = \sum_{n=-\infty}^\infty n^k \varphi(t-n)</math>

:是最高次方為<math> k </math> 的多項式函數。

==消失矩與小波函數的設計==

當濾波器的傅立葉轉換滿足以下的條件時，

 <math> {\left| H_\varphi (\omega) \right|}^2 + {\left| H_\varphi (\omega + \pi) \right|}^2 = 2 </math>

此濾波器滿足共軛鏡像濾波器的條件。其中<math> H_\varphi (\omega)</math>代表離散低通濾波器<math>h_\varphi[n]</math>離散低通濾波器的傅立葉轉換。

結合共軛鏡像濾波器的條件與消失矩的第3個等價敘述，我們可以將低通濾波器表示為

 <math> H_\varphi (e^{j\omega}) = \sqrt{2} { (\frac{1+e^{j\omega}}{2})) }^p L(e^{j\omega}) </math>

其中<math> L(x) </math>為一多項式函數。

利用上述條件與消失矩的等價敘述，可以簡化設計小波函數的步驟。

===消失矩與濾波器長度===

在小波轉換中，尺度函數和小波母函數可利用離散濾波器來定義：

 <math>\varphi(t) = \sum_{n}^{} h_\varphi [n] \sqrt{2}\varphi(2t-n) </math>

 <math>\psi(t) = \sum_{n}^{} h_\psi [n] \sqrt{2}\varphi(2t-n) </math>

其中<math>h_\varphi[n]</math>為離散低通濾波器，<math>h_\psi[n]</math>則為離散高通濾波器，通常會利用支撐大小(Size of support)來表示濾波器的長度。

從上述<math> H_\varphi (e^{j\omega}) = \sqrt{2} { (\frac{1+e^{j\omega}}{2})) }^p L(e^{j\omega}) </math>的表示式可得知，

當我們選擇較高的消失矩<math>p</math>時，<math> H_\varphi (e^{j\omega})</math>將會是具有較高<math> e^{j\omega}</math>次方的多項式函數，因此對應到的<math>h_\varphi[n]</math>便有較長的濾波器長度。

一般而言，擁有較高的消失矩與較短的濾波器長度是一個交換條件的關係，無法兩者同時滿足。

因此在設計連續小波轉換中的小波母函數時，除了消失矩外，也應當把所對應到的濾波器長度考慮進去。

==參考文獻==
*Jian-Jiun Ding (2012), [http://djj.ee.ntu.edu.tw/TFW.htm Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform ] {{Wayback|url=http://djj.ee.ntu.edu.tw/TFW.htm |date=20170101160000 }} [viewed 17/01/2012]
*Chun-Lin Liu, [http://disp.ee.ntu.edu.tw/tutorial/WaveletTutorial.pdf A Tutorial of the Wavelet Transform] {{Wayback|url=http://disp.ee.ntu.edu.tw/tutorial/WaveletTutorial.pdf |date=20200331141848 }}, February 2010
*S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed., Third Edition: The Sparse Way. Academic Press, 3 ed., December 2008.

[[Category:小波分析]]