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[[数学]]中，'''浸没'''（submersion）是[[微分流形]]之间的[[可微函数|可微映射]]，其[[前推 (微分)|微分]]处处为[[满射]]。这是[[微分拓扑]]中的一个基本概念。浸没与[[浸入]]对偶。

== 定义 ==
令''M''、''N''是[[微分流形]]，<math>f\colon M\to  N</math>是它们间的[[可微函数|可微映射]]。映射''f''是'''点<math>p\in M</math>处的浸没'''，若其[[前推 (微分)|微分]]

:<math>Df_p \colon T_p M \to T_{f(p)}N</math>

是[[线性映射|线性]][[满射]]。<ref>{{harvnb|Crampin|Pirani|1994|page=243}}. {{harvnb|do Carmo|1994|page=185}}. {{harvnb|Frankel|1997|page=181}}. {{harvnb|Gallot|Hulin|Lafontaine|2004|page=12}}. {{harvnb|Kosinski|2007|page=27}}. {{harvnb|Lang|1999|page=27}}. {{harvnb|Sternberg|2012|page=378}}.</ref>这种情况下，''p''被称作映射''f''的'''正则点'''（regular point）；否则，''p''就是[[临界点 (数学)|临界点]]。若[[像_(數學)#原像|原像]]<math>f^{-1}(q)</math>中所有的点''p''都是正则点，则点<math>q\in N</math>是''f''的'''正则值'''。在每点<math>p\in M</math>上都是浸没的可微映射''f''也称作浸没，等价地，若''f''的微分<math>Df_p</math>的[[秩 (微分拓扑)|秩]]等于''N''的维度，则''f''是浸没。

需要注意：有人用“临界点”描述''f''的[[雅可比矩阵]]的[[秩 (线性代数)|秩]]不取最大值的点。<ref>{{harvnb|Arnold|Gusein-Zade|Varchenko|1985}}.</ref>这在[[奇异理论]]中是更有用的概念。若''M''的维度不小于''N''的维度，则这两个临界点的概念是重合的；但若''M''的维度小于''N''的维度，则据上述定义，所有点都是临界点（微分不可能是满射），而雅可比矩阵的秩仍可能是最大的（若等于''M''的维度）。上述定义更常用，如在[[萨德定理]]的表述中。
== 浸没定理 ==
给定''m''维、''n''维光滑流形之间的浸没<math>f\colon M\to N</math>，<math>\forall x \in M</math>，有围绕''x''的''M''的[[满射]][[微分流形#圖冊|图]]（chart）<math> \phi : U \to \R^m </math>、围绕<math>f(x) </math>的''N''的<math>\psi : V \to \R^n</math>，使得''f''限制到浸没<math>f \colon U \to V</math>，用坐标表示为<math>\psi \circ f \circ \phi^{-1} : \R^m \to \R^n </math>，就变为普通的[[投影_(线性代数)#正交投影|正交投影]]。应用中，<math>\forall p \in N</math>，''f''对应的纤维表示为<math>M_p = f^{-1}(\{p\})</math>，可配备''M''的光滑子流形结构，其维度等于''N''与''M''维度之差。

该定理是[[反函数定理]]的结果（见[[反函数定理#流形]]）。

例如，考虑<math>f\colon \R^3 \to \R</math>由<math>f(x,y,z) = x^4 + y^4 +z^4</math>给出。雅各比矩阵是
:<math>\begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4x^3 & 4y^3 & 4z^3 \end{bmatrix}.</math>

除原点外，这在每一点都有最大秩。另外，纤维
:<math>f^{-1}(\{t\}) = \left\{(a,b,c)\in \R^3 : a^4 + b^4 + c^4 = t\right\}</math>

在<math>t < 0</math>时是[[空集]]，<math>t = 0</math>时等于一个点。因此，我们只有一个光滑浸没<math>f\colon \R^3\setminus \{(0,0,0)\}\to \R_{>0},</math>与子集<math>M_t = \left\{(a,b,c)\in \mathbb{R}^3 : a^4 + b^4 + c^4 = t\right\}</math>是<math>t > 0</math>时的2维光滑流形。

== 示例 ==
* 任何投影<math>\pi\colon \R^{m+n} \rightarrow \R^n\subset\R^{m+n}</math>
* [[局部微分同胚]]
* [[黎曼浸没]]
* 光滑[[向量丛]]或更一般的光滑[[纤维化 (数学)|纤维化]]中的投影。微分的满射性是局部平凡化存在的必要条件。
=== 球面之间的映射 ===
浸没的一大类例子是高维球面之间的浸没，例如
:<math>f:S^{n+k} \to S^k</math>
其纤维维度为''n''，这是因为纤维（元素<math>p \in S^k</math>的反像）是''n''维光滑流形。那么，若取路径
:<math>\gamma: I \to S^k</math>
并取[[拉回 (范畴论)|拉回]]
:<math>\begin{matrix}
M_I & \to & S^{n+k} \\
\downarrow & & \downarrow f \\
I & \xrightarrow{\gamma} & S^k
\end{matrix}</math>
就得到了一种特殊的[[配边|协边]]的例子，称作有框架协边。实际上，有框协边群<math>\Omega_n^{fr}</math>与稳定同伦群密切相关。

=== 代数簇族 ===
另一大类浸没由[[代数簇]]<math>\pi:\mathfrak{X} \to S</math>给出，其纤维是光滑代数簇。若考虑其底流形，则得到光滑流形。例如[[椭圆曲线]]的魏尔施特拉斯族<math>\pi:\mathcal{W} \to \mathbb{A}^1</math>是被广泛研究的浸没，因为其包含了许多用于展示更复杂理论的技术，如[[交同调]]与[[错致层]]。这一族来自<blockquote><math>\mathcal{W} = \{(t,x,y) \in \mathbb{A}^1\times \mathbb{A}^2 : y^2 = x(x-1)(x-t) \}</math></blockquote>其中<math>\mathbb{A}^1</math>是仿射线，<math>\mathbb{A}^2</math>是仿射平面。由于考虑的是复簇，它们等价于复线与复平面<math>\mathbb{C},\mathbb{C}^2</math>。注意我们实际上应该去掉<math>t = 0,1</math>，因为那里有奇点（有双根）。

== 局部正规形式 ==
若<math>f:\ M\to N</math>是''p''处的浸没，<math>f(p)=q\in N</math>，则在''M''中存在''p''的[[开邻域]]''U''、在''N''中存在''q''的开邻域''V''，在''p''处有局部坐标<math>(x_1,\ \ldots,\ x_m)</math>，在''q''处有局部坐标<math>(x_1,\ \ldots,\ x_n)</math>，使得<math>f(U)=V</math>，且在这些局部坐标中的映射''f''是标准投影
: <math>f(x_1, \ldots, x_n, x_{n+1}, \ldots, x_m) = (x_1, \ldots, x_n).</math>

可知，在可微映射<math>f:\ M\to N</math>的作用下，''N''中的正则值''q''在''M''中的全原像<math>f^{-1}(q)</math>要么是空的，要么是<math>{\rm dim}M-{\rm dim}N</math>维微分流形，但可能不连通。这是'''正则值定理'''的内容（也叫'''浸没定理'''）。尤其是，若''f''是浸没，则<math>\forall q\in N</math>，结论都成立。

== 拓扑流形的浸没 ==
一般[[拓扑流形]]的浸没也是良定义的。<ref>{{harvnb|Lang|1999|page=27}}.</ref>拓扑流形浸没是连续满射<math>f:\ M\to N</math>，使得<math>\forall p\in M</math>，对''p''上的某连续图ψ、''f(p)''处的φ，映射<math>\psi^{-1}\circ f\circ\varphi</math>等于[[射影]]映射<math>\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n</math>（<math>m={\rm dim}(M)\ge n={\rm dim}(N)</math>）。

== 另见 ==
* [[埃雷斯曼纤维化定理]]

==脚注==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|first1=Vladimir I.|last1=Arnold|author-link1=Vladimir Arnold|first2=Sabir M.|last2=Gusein-Zade|author-link2=Sabir Gusein-Zade|first3=Alexander N.|last3=Varchenko|author-link3=Alexander Varchenko|title=Singularities of Differentiable Maps: Volume 1|url=https://archive.org/details/singularitiesofd0002arno|publisher=Birkhäuser|year=1985|ISBN=0-8176-3187-9}}
* {{cite book|first=James W.|last=Bruce|first2=Peter J.|last2=Giblin|title=Curves and Singularities|url=https://archive.org/details/curvessingularit0000bruc|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1984|ISBN=0-521-42999-4|mr=0774048}}
* {{cite book|last1=Crampin|first1=Michael|last2=Pirani|first2=Felix Arnold Edward|title=Applicable differential geometry|publisher=[[Cambridge University Press]]|location=Cambridge, England|year=1994|isbn=978-0-521-23190-9|url-access=registration|url=https://archive.org/details/applicablediffer0000cram}}
* {{cite book|title = Riemannian Geometry|first=Manfredo Perdigao | last = do Carmo |author-link=Manfredo do Carmo | year = 1994|isbn=978-0-8176-3490-2}}
* {{cite book|last=Frankel|first=Theodore|title=The Geometry of Physics|url=https://archive.org/details/geometryofphysic0000fran|publisher=[[Cambridge University Press]]|location=Cambridge|year=1997|isbn=0-521-38753-1|mr=1481707}}
* {{cite book| last1=Gallot | first1=Sylvestre | last2=Hulin | first2=Dominique|author2-link=Dominique Hulin | last3=Lafontaine | first3=Jacques | title=Riemannian Geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-3-540-20493-0 | year=2004}}
* {{cite book|last=Kosinski|first=Antoni Albert|year=2007|orig-year=1993|title=Differential manifolds|url=https://archive.org/details/differentialmani0000kosi_k1k6|location=Mineola, New York|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-46244-8}}
* {{cite book| isbn = 978-0-387-98593-0 | title = Fundamentals of Differential Geometry | last = Lang | first = Serge |author-link=Serge Lang|publisher=Springer|location=New York| year = 1999 | series = Graduate Texts in Mathematics}}
* {{cite book|last1=Sternberg|first1=Shlomo Zvi|author-link1=Shlomo Sternberg|year=2012|title=Curvature in Mathematics and Physics|publisher=Dover Publications|location=Mineola, New York|isbn=978-0-486-47855-5}}

== 阅读更多 ==
*https://mathoverflow.net/questions/376129/what-are-the-sufficient-and-necessary-conditions-for-surjective-submersions-to-b?rq=1 {{Wayback|url=https://mathoverflow.net/questions/376129/what-are-the-sufficient-and-necessary-conditions-for-surjective-submersions-to-b?rq=1 |date=20240108090640 }}

[[Category:光滑函数]]