查看“︁海伦公式”︁的源代码

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'''-{zh-cn:海伦公式;zh-hk:希羅公式<span></span>;zh-tw:海龍公式}-'''（{{lang-en|Heron's formula或Hero's formula}}），又譯'''希罗公式'''<ref name="A">{{Cite web |title=香港大學教育學院母語教學教師支援中心：數學科詞彙表 |url=http://www.cmi.hku.hk/ref/glossary/Mat/h.htm |archive-url=https://web.archive.org/web/20090616095937/http://www.cmi.hku.hk/ref/glossary/Mat/h.htm |archive-date=2009-06-16 |access-date=2009-07-06 |dead-url=yes }}</ref>。由[[古希臘]]數學家[[亞歷山大港的希羅]]發現，並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有[[數學證明]]，原理是利用[[三角形]]的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的[[阿基米德]]已經了解這條公式，因为《Metrica》是一部古代數學知識的結集，该公式的發現時間很有可能先於希羅的著作。<ref>{{Cite mathworld|urlname=HeronsFormula|title=Heron's Formula |access-date=2009-07-06 |archive-date=2015-09-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150905172827/http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html |dead-url=no }}</ref>

假設有一個三角形，邊長分別為<math>a, b ,c </math>，三角形的面積<math>A</math>可由以下公式求得：

:<math>A=\sqrt{s (s-a)(s-b)(s-c)}</math>，其中<math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>

[[中国]][[南宋]]末年數學家[[秦九韶]]发现或知道等價的公式，其著作《[[數書九章]]》卷五第二题即'''三斜求积'''。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂併大斜幂，減中斜幂，餘半之，自乘於上；以小斜幂乘大斜幂，減上，餘四約之，爲實，一為從隅，開平方，得積。”若以大斜记为<math>a</math>，中斜记为<math>b</math>，小斜记为<math>c</math>，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：

:<math>A=\sqrt{\frac1{4} \left[ a^2 c^2 - \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2 \right]}</math>，其中<math>a \ge b \ge c</math>

像其他中國古代的數學家一样，他的方法沒有[[證明]]。根據现代數學家[[吴文俊]]的研究，秦九韶公式可由[[出入相補]]原理得出。

由於任何<math>n</math>边的多邊形都可以分割成<math>n-2</math>个三角形，所以海伦公式可以用作求多邊形面積的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

== 证明 ==

=== 利用三角公式和代数式变形来证明 ===

与希羅在他的著作《Metrica》中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边<math>a, b ,c </math>的对角分别为<math>A, B ,C </math>，则[[余弦定理]]为

:<math>\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>

利用[[和平方]]、[[差平方]]、-{[[平方差]]}-等公式，从而有

:<math>
\begin{align}
\sin C & = \sqrt{1-\cos^2 C} \\
& = \sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)} \\
& = \sqrt{\left( 1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) \left( 1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)} \\
& = \sqrt{\left( \frac{2ab+(a^2+b^2-c^2)}{2ab} \right) \left( \frac{2ab-(a^2+b^2-c^2)}{2ab} \right)} \\
& = \sqrt{\left( \frac{(2ab+a^2+b^2)-c^2}{2ab} \right) \left( \frac{c^2-(a^2+b^2-2ab)}{2ab} \right)} \\
& = \sqrt{\left[ \frac{(a+b)^2-c^2}{2ab} \right] \left[ \frac{c^2-(a-b)^2}{2ab} \right]} \\
& = \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}{2ab} \\
& = \frac{\sqrt{(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}}{2ab} \\
& = \frac{2}{ab} \sqrt{s(s-c)(s-b)(s-a)}
\end{align}
</math>

:<math>
\begin{align}
A & = \frac{1}{2}ab \sin C \\
& = \frac{ab}{2} \cdot \frac{2}{ab} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
& = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}
</math>

=== 利用[[勾股定理]]和代数式变形来证明 ===

[[Image:Triangle with notations 3.svg|thumb|270px|]]

:<math>b^2=h^2+d^2</math>
:<math>a^2=h^2+(c-d)^2</math>
:<math>a^2-b^2=c^2-2cd</math>
:<math>d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}</math>
:<math>
\begin{align}
h^2 & = b^2-\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)^2\\
& = \frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\
& = \frac{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}{4c^2}\\
& = \frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\
& = \frac{2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^2}\\
& = \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}
\end{align}
</math>
:<math>
\begin{align}
A & = \frac{ch}{2}\\
& = \sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}}\\
& = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}
</math>
[[File:Heron formula.PNG|缩略图|330x330像素]]

=== 用旁心來證明 ===
設<math>\bigtriangleup ABC</math>中，<math>\overline{A B}=c,\overline{B C}=a, \overline{C A}=b</math>。

<math>I</math>為內心，<math>I_a, I_b, I_c</math>為三旁切圓。

<math>\because \angle I_aBI= \angle I_aCI=90^\mathsf{o}</math>

<math>\therefore I_aCIB</math>四點共圓，並設此圓為圓<math>O</math>。
# 過<math>I</math>做鉛直線交<math>\overline{B C}</math>於<math>P</math>，再延長<math>\overleftrightarrow{IP}</math>，使之與圓<math>O</math>交於<math>Q</math>點。再過<math>I_a</math>做鉛直線交<math>\overline{BC}</math>於<math>R</math>點。
# 先證明<math>\Box I_aQPR</math>為矩形：<math>\because \angle QPR=90^\mathsf{o}, \angle I_aRP=90^\mathsf{o}</math>，又<math>\angle I_aQI=\angle I_aBI=90^\mathsf{o}</math>(圓周角相等)。<math>\therefore \Box I_aQPR</math>為矩形。因此，<math>\overline{I_aR}=\overline{QP}</math>。
# <math>\overline{PI}=</math>內切圓半徑<math>=\frac{\bigtriangleup}{\frac{a+b+c}{2}}</math>，<math>\overline{I_aR}=</math>旁切圓半徑<math>= \frac{\bigtriangleup}{\frac{b+c-a}{2}}</math>。且易知<math>\overline{BP}=\frac{c+a-b}{2}, \overline{PC}=\frac{a+b-c}{2}</math>。由圓冪性質得到：<math>\overline{PC}\times \overline{PB}= \overline{PQ}\times \overline{PI}=\overline{I_aR}\times \overline{PI}</math>。故<math>\frac{a+b-c}{2}\times \frac{c+a-b}{2} = \frac{\bigtriangleup}{\frac{a+b+c}{2}}\times \frac{\bigtriangleup}{\frac{b+c-a}{2}}</math><math>\Rightarrow \bigtriangleup=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times \frac{b+c-a}{2}\times \frac{a+c-b}{2}\times \frac{a+b-c}{2}}</math>

== 其他形式 ==
海倫公式可改寫成以[[幂和]]表示：
:<math>\begin{align}
A &= \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\
&= \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\
\end{align}</math>{{NoteTag|應用實例，如[[外森比克不等式#证明一|外森比克不等式的證明]]}}
{{hideH|證明}}
將[[海倫公式]]略為變形，知
:<math>16 A^2=[(a+b)+c][(a+b)-c] \times [c+(a-b)][c-(a-b)]</math>
多次使用[[平方差|平方-{}-差]]公式，得
:<math>\begin{align}
16 A^2 &=[(a+b)^2-c^2] \times [c^2-(a-b)^2]\\
&=[2ab+(a^2+b^2-c^2)]\times[2ab-(a^2+b^2-c^2)]\\
&=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2\\
&=4a^2b^2-(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2)\\
&=(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\
&=2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\
\end{align}</math>
等號兩邊開根號，再同除以4，得
:<math>\begin{align}
A &=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\
  &=\frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\
\end{align}</math>
{{hideF}}

== 註釋 ==
{{NoteFoot}}

== 資料來源 ==
{{reflist}}

== 參見 ==
* [[婆罗摩笈多公式]]：海倫公式對[[圆内接四边形]]的推廣。

== 外部連結 ==
* [https://web.archive.org/web/20110311110157/http://www.htjh.tpc.edu.tw/math/LSC/%E6%B5%B7%E9%BE%8D%E5%85%AC%E5%BC%8F.htm 海龍公式 1]
* [https://web.archive.org/web/20090310155641/http://web.chsh.chc.edu.tw/bee/oldmath/flash/044.htm 海龍公式 2]

[[Category:三角形几何]]
[[Category:几何定理]]
[[Category:数学公式]]
[[Category:面积]]