查看“︁派克变换”︁的源代码

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'''派克变换'''（也译作'''帕克变换'''，[[英语]]：Park's Transformation），是目前分析[[同步电动机]]及[[感應馬達]]运行最常用的一种坐标变换，由美国工程师{{le|羅伯特·H·帕克|Robert H. Park}}在1929年提出。派克变换将定子的a,b,c三相电流投影到随着转子旋转的直轴（d轴），交轴（q轴）与垂直于dq平面的零轴（0轴）上去，从而实现了对定子电感矩阵的[[对角化]]，对电动机的运行分析起到了简化作用。

== 定义 ==
派克正变换：

:<math>{\mathbf{i}}_{dq0}  = {\mathbf{P}}{\mathbf{i}}_{abc}  = \frac{2}
{3}\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\cos \theta } & {\cos \left( {\theta  - 120^ \circ  } \right)} & {\cos \left( {\theta  + 120^ \circ  } \right)}  \\
   { - \sin \theta } & { - \sin \left( {\theta  - 120^ \circ  } \right)} & { - \sin \left( {\theta  + 120^ \circ  } \right)}  \\
   {\frac{1}
{2}} & {\frac{1}
{2}} & {\frac{1}
{2}}  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {i_a }  \\
   {i_b }  \\
   {i_c }  \\

 \end{array} } \right]</math>

逆变换：

:<math>{\mathbf{i}}_{abc}  = {\mathbf{P}}^{ - 1} {\mathbf{i}}_{dq0}  = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\cos \theta } & { - \sin \theta } & 1  \\
   {\cos \left( {\theta  - 120^ \circ  } \right)} & { - \sin \left( {\theta  - 120^ \circ  } \right)} & 1  \\
   {\cos \left( {\theta  + 120^ \circ  } \right)} & { - \sin \left( {\theta  + 120^ \circ  } \right)} & 1  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {i_d }  \\
   {i_q }  \\
   {i_0 }  \\

 \end{array} } \right]</math>


派克变换也作用在定子电压与定子绕组磁链上：
<math>
{\mathbf{u}}_{dq0}  = {\mathbf{P}}{\mathbf{u}}_{abc} 
</math>，<math>
{\mathbf{\Psi }}_{dq0}  = {\mathbf{P}}{\mathbf{\Psi }}_{abc} 
</math> 




=== 几何解释 ===

[[Image:Geometric interpretation of dqo transform.jpg|center|frame|上图描绘了派克变换的几何意义，定子三相电流互成120度角，<math>\delta </math>为定子电流落后于它们对应的相电压的角度。直轴与交轴电流分别等于定子三相电流在d轴与q轴上的投影。（图中的比例系数<math>\sqrt {\frac{3}{2}} </math>是由于图中所采用的是正交形式的派克变换）d-q坐标系在空间中以角速度<math>\omega</math>逆时针旋转，故 <math>\theta = \omega t</math> 以d轴领先a相轴线的方向为正。当定子电流为三相对称的正弦交流电时，<math>i_d</math>,<math>i_q</math>为直流电流，<math>i_0=0</math>。]]

== 用派克变换化简同步发电机基本方程 ==
=== 变换后的磁链方程 ===
磁链方程：

::<math>

\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{\Psi }}_{abc} }  \\
   {{\mathbf{\Psi }}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{L}}_{SS} } & {{\mathbf{L}}_{SR} }  \\
   {{\mathbf{L}}_{RS} } & {{\mathbf{L}}_{RR} }  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   { - {\mathbf{i}}_{abc} }  \\
   {{\mathbf{i}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right]
</math>


上式中的电感系数矩阵 <math>{{\mathbf{L}}_{SS}},{{\mathbf{L}}_{SR}},{{\mathbf{L}}_{RS}},{{\mathbf{L}}_{RR}}</math> 事实上都含有随时间变化的角度参数<ref>定子电感矩阵 <math>
{\mathbf{L}}_{SS}  = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {L_{aa} } & {M_{ab} } & {M_{ac} }  \\
   {M_{ba} } & {L_{bb} } & {M_{bc} }  \\
   {M_{ca} } & {M_{cb} } & {L_{cc} }  \\

 \end{array} } \right]
</math>，<br>

其中<br>
:<math>L_{aa}  = l_0  + l_2 \cos \left( 2\theta \right)</math>
:<math>L_{bb}  = l_0  + l_2 \cos 2\left( {\theta  - 120^ \circ  } \right)</math>
:<math>L_{cc}  = l_0  + l_2 \cos 2\left( {\theta  + 120^ \circ  } \right)</math>
:<math>M_{ab}  = M_{ba}  =  - m_0  - m_2 \cos 2\left( {\theta  + 30^ \circ  } \right)</math>
:<math>M_{bc}  = M_{cb}  =  - m_0  - m_2 \cos 2\left( {\theta  - 90^ \circ  } \right)</math>
:<math>M_{ca}  = M_{ac}  =  - m_0  - m_2 \cos 2\left( {\theta  + 150^ \circ  } \right)</math>
</ref>，使得方程求解困难。

现对等式两边同时左乘 <math>
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\mathbf{P}} & {}  \\
   {} & {\mathbf{U}}  \\

 \end{array} } \right]</math>，其中<math>
{\mathbf{U}}</math>为三阶[[单位矩阵]]。方程化为：

::<math>
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{\Psi }}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{\Psi }}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\mathbf{P}} & {}  \\
   {} & {\mathbf{U}}  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{L}}_{SS} } & {{\mathbf{L}}_{SR} }  \\
   {{\mathbf{L}}_{RS} } & {{\mathbf{L}}_{RR} }  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{P}}^{ - 1} } & {}  \\
   {} & {\mathbf{U}}  \\



 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   { - {\mathbf{i}}_{abc} }  \\
   {{\mathbf{i}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right]
</math>


::<math>
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{\Psi }}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{\Psi }}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{PL}}_{SS} {\mathbf{P}}^{ - 1} } & {{\mathbf{PL}}_{SR} }  \\
   {{\mathbf{L}}_{RS} {\mathbf{P}}^{ - 1} } & {{\mathbf{L}}_{RR} }  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   { - {\mathbf{i}}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{i}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right]
</math>


其中 <math>
{\mathbf{PL}}_{SS} {\mathbf{P}}^{ - 1}  = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {L_d } & {} & {}  \\
   {} & {L_q } & {}  \\
   {} & {} & {L_0 }  \\

 \end{array} } \right] \triangleq {\mathbf{L}}_{dq0} 
</math>。


① 变换后的电感系数都变为常数，可以假想dd绕组，qq绕组是固定在转子上的，相对转子静止。

② 派克变换阵对定子自感矩阵 <math>{\mathbf{L}}_{SS}</math> 起到了对角化的作用，并消去了其中的角度变量。<math>{L_d },{L_q},{L_0}</math> 为其特征根。

③ 变换后定子和转子间的互感系数不对称，这是由于派克变换的矩阵不是[[正交矩阵]]。

④ <math>{L_d }</math> 为直轴同步电感系数，其值相当于当励磁绕组开路，定子合成磁势产生单纯直轴磁场时，任意一相定子绕组的自感系数。

=== 变换后的电压方程 ===
电压方程：
::<math>
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{U}}_{abc} }  \\
   {{\mathbf{U}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{r}}_S } & {}  \\
   {} & {{\mathbf{r}}_R }  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   { - {\mathbf{i}}_{abc} }  \\
   {{\mathbf{i}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{\dot \Psi }}_{abc} }  \\
   {{\mathbf{\dot \Psi }}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right]
</math>

现对等式两边同时左乘 <math>
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\mathbf{P}} & {}  \\
   {} & {\mathbf{U}}  \\

 \end{array} } \right]</math>，其中<math>
{\mathbf{U}}</math>为三阶[[单位矩阵]]。方程化为：
::<math>
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{U}}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{U}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{r}}_S } & {}  \\
   {} & {{\mathbf{r}}_R }  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   { - {\mathbf{i}}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{i}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{P\dot \Psi }}_{abc} }  \\
   {{\mathbf{\dot \Psi }}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right]
</math>
由 <math>
{\mathbf{\Psi }}_{dq0}  = {\mathbf{P\Psi }}_{abc} 
</math> ，<br>

对两边求导，得 <math>
{\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0}  = {\mathbf{\dot P\Psi }}_{abc}  + {\mathbf{P\dot \Psi }}_{abc} 
</math> ，<br>

所以 <math>
{\mathbf{P\dot \Psi }}_{abc}  = {\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0}  - {\mathbf{\dot P\Psi }}_{abc}  = {\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0}  - {\mathbf{\dot PP}}^{ - 1} {\mathbf{\Psi }}_{dq0} 
</math>

其中 <math>{\mathbf{\dot PP}}^{ - 1}  = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {} & \omega  & {}  \\
   { - \omega } & {} & {}  \\
   {} & {} & {}  \\

 \end{array} } \right]
</math> ，令 <math>{\mathbf{S}} = {\mathbf{\dot PP}}^{ - 1} {\mathbf{\Psi }}_{dq0}  = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {} & \omega  & {}  \\
   { - \omega } & {} & {}  \\
   {} & {} & {}  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\Phi _d }  \\
   {\Phi _q }  \\
   {\Phi _0 }  \\

 \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\omega \Psi _q }  \\
   { - \omega \Psi _d }  \\
   {}  \\

 \end{array} } \right]
</math>


于是有 <math>
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{U}}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{U}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{r}}_S } & {}  \\
   {} & {{\mathbf{r}}_R }  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   { - {\mathbf{i}}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{i}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{\dot \Psi }}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\mathbf{S}}  \\
   {}  \\

 \end{array} } \right]
</math>

上式右边第一项为绕组电阻的压降，第二项为变压器电势，第三项为发电机电势或旋转电势。

== 注释 ==
<references/>

==相關條目==
*[[向量控制]]
*[[克拉克變換]]

== 参考书目 ==
*电机电子类科《电力系统暂态分析》，ISBN 978-7-5083-4825-4，作者：李光琦，中国电力出版社。
{{電動機}}

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[[Category:电子工程]]
[[Category:電動機]]