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{{noteTA
|G1 = Math
|G2 = Physics
}}
{{微積分學}}
'''洛必達法則'''（又稱'''罗比塔法则'''<ref>{{Cite book|title=通信原理简明教程|publisher=机械工业|isbn = 978-7-111-37784-9|pages=14|year=2012|first1=黄葆华|last1=沈忠良|last2=张伟明}}</ref>）（{{lang-fr|Règle de L'Hôpital}}，{{lang-en|L'Hôpital's rule}}）是利用[[導數]]來[[計算]]具有[[不定型]]的[[极限_(数学)|極限]]的[[方法]]。該法則以法國數學家[[纪尧姆·德·洛必达]]的名字命名，但實际上是由[[瑞士]][[數學家]][[約翰·伯努利]]<ref>{{Cite book|title=The Story of a Number|last=Eli Maor|publisher=Princeton University Press|year=|isbn=0-691-05854-7|location=|pages=116|first=}}</ref>所發現。

==敘述==
洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令<math>c \in \bar{\mathbb{R}}</math>（[[擴展實數線|擴展實數]]），兩函數<math>f(x), g(x)</math>在以<math>x=c</math>為端點的開區間可微，<math>\lim_{x\to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}\in \bar{\mathbb{R}}</math>，並且<math>g'(x) \neq 0</math>。

如果 <math>\lim_{x \to c}{f(x)}=\lim_{x \to c}{g(x)}=0</math> 或 <math>\lim_{x \to c}{|f(x)|}=\lim_{x \to c}{|g(x)|}=\infty</math> 其中一者成立，則稱欲求的極限<math>\lim_{x\to c}{\frac{f(x)}{g(x)}}</math>為[[未定式]]。

此時洛必达法则表明：

<math>\lim_{x\to c}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x\to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math>。

對於不符合上述分數形式的未定式，可以通過運算轉為分數形式，再以本法則求其值。以下列出數例：
{| class="wikitable"
!欲求的極限
!條件
!轉換為分數形式的方法
|-
|（1）<math> \lim_{x \to c} f(x)g(x) \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = 0,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{1/g(x)} \! </math>  或  <math> \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/f(x)} \! </math>
|-
|（2）<math> \lim_{x \to c} (f(x)-g(x)) \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x) - 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))} \! </math>
|-
|（3）<math> \lim_{x \to c} {f(x)}^{g(x)} \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = 0^+, \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! </math> 或<br><math> \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\  \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \! </math>
|-
|（4）<math> \lim_{x \to c} {f(x)}^{g(x)} \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = 1,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \! </math>
|}
注意：不能在数列形式下直接用洛必達法則，因為對於離散變量是无法求导数的。但此时有形式类近的[[斯托尔兹－切萨罗定理]]（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。


== 證明 ==
下面仅给出 <math>\lim_{x \to a}{f(x)}=\lim_{x \to a}{g(x)}=0, \, g'(a) \neq 0</math> 的证明。

设两函數<math>f(x)</math>及<math>g(x)</math>在a 點附近连续可导，<math>\ f(x)</math>及<math>\ g(x)</math>都在 a 點[[連續]]，且其值皆為 0 ，
:<math>f(a) = 0;\; g(a) = 0, \qquad \lim_{x \to a} f(x) = 0;\; \lim_{x \to a} g(x) = 0</math>
为了叙述方便，假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面，两函数的导数比值在 a 点存在，记为
:<math>\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L.</math>

由極限的定义，对任何一个<math> \epsilon > 0</math>（試想像y軸），都存在<math>\eta > 0</math>（試想像x軸），使得对任意的<math>a - \eta \leqslant x \leqslant a + \eta, \,\, x \neq a</math>，都有：
: <math>L - \epsilon\leqslant \frac{f'(x)}{g'(x)} \leqslant L + \epsilon</math> 
而根据[[柯西中值定理]]（逆定理），对任意的<math>a - \eta \leqslant x \leqslant a + \eta, \,\, x \neq a</math>，都存在一个介于<math>a </math>和<math>x</math>之间的数<math>\xi</math>，使得： 
:{| 
| <math> \frac{f(x)}{g(x)}  </math> 
| <math> = \frac{ f(x) - f(a) }{ g(x) - g(a) }  =  \frac{f'( \xi )}{g'( \xi )}  </math> 
|- 
| 于是，
| <math>   L - \epsilon \leqslant \frac{f(x)}{g(x)} \leqslant L + \epsilon  </math> 
|}
 
因此，
:极限<math>  \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} .</math>

==例子==
:{|
|<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{\pi x}\,</math>
|<math>= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\,</math>
|-
|
| <math>= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} \, </math>   
| <math> = \frac{1}{1} = 1\,</math>
|}

:{|
|-
|<math>\lim_{x\to 0} {2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x}</math>
|<math>=\lim_{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x}</math>
|-
|
|<math>=\lim_{x\to 0}{-2\sin x +4\sin 2x \over \sin x}</math>
|-
|
|<math>=\lim_{x\to 0}{-2\cos x +8\cos 2x \over \cos x}</math>
|-
|
|<math>={-2\cos 0 +8\cos 0 \over \cos 0}</math>
|-
|
|<math>=6\,</math>
|}

:{|
|-
|<math>\lim_{x\to 0} {r^x - 1 \over x}</math>
|<math>=\lim_{x \to 0}{\frac{d}{dx}r^x \over \frac{d}{dx}x}</math>
|-
|
|<math>=\lim_{x \to 0}{r^x \ln r \over 1}</math>
|-
|
|<math>=\ln r \lim_{x \to 0}{r^x}</math>
|-
|
|<math>=\ln r\!</math>
|}

:<math>\lim_{x\to 0}{e^x-1-x \over x^2}
=\lim_{x\to 0}{e^x-1 \over 2x}
=\lim_{x\to 0}{e^x \over 2}={1 \over 2}</math>

:<math>
  \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\ \frac{1}{2 \sqrt{x}}\ }{\frac{1}{x}}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2}
  = \infty
</math>

:<math>\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x}
=\lim_{x\to\infty}{x^n \over e^x}
=\lim_{x\to\infty}{nx^{n-1} \over e^x}
=n\lim_{x\to\infty}{x^{n-1} \over e^x}= 0</math>

:<math>\lim_{x\to 0+} (x  \ln x) =\lim_{x\to 0+}{\ln x \over \frac{1}{x}}
=\lim_{x\to 0+}{\frac{1}{x} \over -\frac{1}{x^2}}
=\lim_{x\to 0+} -x = 0</math>

:{|
|<math>\lim_{t\to 0}\, \mathrm{sinc}(f_0 t)\cdot \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]} </math>
|<math>= \left\{\lim_{t\to 0}\, \mathrm{sinc}(f_0 t)\right\}\cdot \left. \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]} \, \right|_{t = 0}</math>
|-
|
|<math>= 1 \cdot 1 = 1</math>
|}

:{|
|<math>\lim_{t\to \frac{1}{2\alpha f_0}} \mathrm{sinc}(f_0 t)\cdot \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]} </math>
|<math>= \mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2\alpha}\right)\cdot \lim_{t\to \frac{1}{2\alpha f_0}} \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]}</math>
|-
|
|<math>= \mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2\alpha}\right)\cdot \left(\frac{\frac{-\pi}{2}}{-2}\right)</math>
|-
|
|<math>= \sin\left(\frac{\pi}{2\alpha}\right)\cdot \frac{\alpha}{2}</math>
|}

==参阅==
*[[极限_(数学)|极限]]

==参考文献==
===来源===
* {{Cite web |url=https://www.mathsisfun.com/calculus/l-hopitals-rule.html |title=L'Hôpital's Rule |access-date=2020-10-20 |archive-date=2020-12-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201231202431/https://www.mathsisfun.com/calculus/l-hopitals-rule.html |dead-url=no }}
===参考===
{{reflist}}

[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:微積分定理]]
[[Category:实分析定理]]
[[Category:极限]]