查看“︁泰勒斯定理”︁的源代码

[[File:Thales' Theorem Simple.svg|thumb|200px|泰勒斯定理：如果<math>AC</math>是直径，那么<math>\angle ABC</math>是直角。]]

'''泰勒斯定理'''（{{lang-en|Thales' theorem}}）以[[古希腊]]思想家、科学家、哲学家[[泰勒斯]]的名字命名，其内容为：若<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>是[[圆|圆周]]上的三[[點]]，且<math>AC</math>是该圆的[[直徑]]，那么<math>\angle ABC</math>必然為[[直角]]。或者说，直径所对的[[圆周角]]是直角。该定理在[[欧几里得]]《[[几何原本]]》第三卷中被提到并证明<ref>{{cite book|last=Heath|first=Thomas L.|title=The thirteen books of Euclid's elements|date=1956|publisher=Dover Publ.|location=New York, NY [u.a.]|isbn=0486600890|page=[https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl/page/61 61]|url=https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl/page/61}}</ref>。

泰勒斯定理的[[定理#逆定理|逆定理]]同样成立，即：[[直角三角形]]中，直角的[[頂點 (幾何)|顶点]]在以[[斜边]]为直径的圆上。

==證明==

===证法一===

以下證明主要使用兩個定理：
*[[三角形]]的內角和等於180°
*[[等腰三角形]]的兩個底角相等

{{Gallery
  |File:Animated illustration of thales theorem.gif|泰勒斯定理的动态演示图。
  |File:Thales' Theorem.svg|证明图。
}}

設<math>O</math>為[[圓心]]，因為<math>OA=OB=OC</math>，所以<math>\bigtriangleup OAB</math>和<math>\bigtriangleup OBC</math>都是[[等腰三角形]]。因為等腰三角形底角相等，故有<math>\angle OBC=\angle OCB</math>，且<math>\angle BAO=\angle ABO</math>。設<math>\alpha=\angle BAO</math>，<math>\beta=\angle OBC</math>。在<math>\bigtriangleup ABC</math>中，因为三角形的内角和等于180°，所以有

:<math>\alpha+\left( \alpha + \beta \right) + \beta = 180^\circ </math>

:<math>{2}\alpha + {2}\beta =180^\circ </math>

:<math>{2}( \alpha + \beta ) =180^\circ </math>

:<math>\therefore \angle ABC = \alpha + \beta =90^\circ.</math>

===证法二===

泰勒斯定理也可以用[[三角学]]方法证明，证明如下：

令<math>O=(0,0)</math>, <math>A=(-1,0)</math>, <math>C=(1,0)</math>。此时，<math>B</math>就是[[单位圆]]<math>(\cos \theta, \sin \theta)</math>上的一点。我们将通过证明<math>AB</math>与<math>BC</math>[[垂直]]，即它们的[[斜率]]之积等于–1，来证明这个定理。计算''<math>AB</math>''和''<math>BC</math>''的斜率：

:<math>m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta + 1}</math>

:<math>m_{BC} = \frac{y_B - y_C}{x_B - x_C} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta - 1}</math>

并证明它们的积等于–1:

:<math>\begin{align}
&m_{AB} \cdot m_{BC}\\
=&\frac{\sin \theta}{\cos \theta + 1} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta - 1}\\
=&\frac{\sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta -1}\\
=&\frac{\sin ^2 \theta}{-\sin ^2 \theta}\\
=&-1
\end{align}</math>

注意以上证明过程中运用了[[三角恒等式#基本關係|毕达哥拉斯三角恒等式]]<math>\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1</math>。

===逆定理的證明===
此證明使用兩線的[[向量]]形成[[直角三角形]]，[[若且唯若]]其[[內積]]為零。設有直角三角形<math>ABC</math>，和以<math>AC</math>為直徑的圓<math>O</math>。設<math>O</math>在原點，以方便計算。则<math>AB</math>和<math>BC</math>的內積為：
:<math>(A-B)\cdot (B-C)=(A-B) \cdot (B+A)=|A|^2-|B|^2=0</math>
:<math>|A|=|B|</math>

故<math>A</math>和<math>B</math>與圓心等距，即<math>B</math>在圆上。

==一般化以及有关定理==
泰勒斯定理是「同弧所对的[[圓周角]]是[[圓心角]]的一半」的一個特殊情況。

以下是泰勒斯定理的一个相关定理：

:如果<math>AC</math>是一个圆的直径，则：
:* 若''<math>B</math>''在圆内，则<math>\angle ABC>90^\circ</math>
:* 若''<math>B</math>''在圆上，则<math>\angle ABC=90^\circ</math>
:* 若''<math>B</math>''在圆外，则<math>\angle ABC<90^\circ</math>

==歷史==
[[泰勒斯]]並非此定理的首名發現者，[[古埃及]]人和[[巴比倫]]人一定已知這特性，可是他們沒有給出證明。

==参考文献==
{{reflist}}

[[Category:几何定理|T]]
[[Category:圆]]