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'''波爾查諾-魏爾施特拉斯定理'''（{{lang-en|'''Bolzano–Weierstrass theorem'''}}）是[[数学]]中，尤其是[[拓扑学]]与[[實分析]]中，用以刻畫 <math>\mathbb{R}^n</math>中的[[緊集]]的基本定理，得名於數學家[[伯納德·波爾查諾]]與[[卡爾·魏爾施特拉斯]]。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理说明，有限维[[实数|实]][[向量空间]]<math>\mathbb{R}^n</math>中的一個[[子集]]<math>E</math>是[[紧集|序列緊緻]]（每個序列都有收斂子序列）当且仅当<math>E</math>是[[有界集合|有界]][[閉集]]。

==历史==

这个定理最早由[[伯纳德·波尔查诺]]证明，當他在證明[[介值定理]]時，附帶證明了這個定理，但是他的证明已经散佚。[[卡尔·魏尔施特拉斯]]独自发现并证明了这个定理。波尔查诺-魏尔施特拉斯定理是[[实分析]]中的基本定理。

==基础概念==
*子列：也称为子序列。一个[[序列]]<math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>的一个子列是指在<math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>中抽取无穷多个元素，然后按照它们在原来序列里的顺序排列起来的序列。严格的定义是：如果存在一个从<math>\mathbb{N}</math>到<math>\mathbb{N}</math>的严格单调递增的[[映射]]<math>\phi</math>，使得<math>a_{\phi (n)} = b_n, \; \forall n\in\mathbb{N}</math>，就称<math>(b_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>是<math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>的一个子列。
*有界闭集：<math>\mathbb{R}^n</math>中的有界闭集概念建立在给定的[[拓扑]]和[[度量]]上的。由于在有限维向量空间中所有度量等价，所以可以将<math>\mathbb{R}^n</math>视为装备了[[欧几里德度量]]的[[度量空间]]（并且可以定义相应的[[范数]]）。<math>\mathbb{R}^n</math>的子集<math>E</math>有界，当且仅当所有<math>E</math>中元素<math>x</math>的[[范数]]小于一个给定常数<math>K</math>。注意这时对应的拓扑是欧几里德范数诱导的自然拓扑。
*序列紧致：称一个集合<math>S</math>是序列紧致的，是指每个由集合<math>S</math>中元素所组成的数列都包含[[极限 (序列)|收敛]]的子列，并且该子列收敛到集合<math>S</math>中的某个元素。

==定理==
波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理可以视为刻画有限维[[实数|实]][[向量空间]]<math>\mathbb{R}^n</math>中序列紧致集合的定理。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的核心部分可以仅仅使用序列的语言来表示：
<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:10px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:90%;">
<div style="font-size:105%;">'''定理 1'''：
</div>
<div style="margin-left:6px;margin-top:6px;font-size:100%;">
任一<math>\mathbb{R}^n</math>中的有界序列<math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>都至少包含一个收敛的子列。{{r|era|page1=56}}
</div>
</div>
从这个定理出发，在给定的有界闭集<math>F</math>中任取一个序列，那么这个序列是有界的，从而至少包含一个收敛的子列。而从<math>F</math>的封闭性可知，这个子列作为<math>F</math>的一部分，其收敛的极限必然也在<math>F</math>中。所以可以推知：
<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:10px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:90%;">
<div style="font-size:105%;">'''推论'''：
</div>
<div style="margin-left:6px;margin-top:6px;font-size:100%;">
任一<math>\mathbb{R}^n</math>中的有界闭集必然序列紧致。{{r|era|page1=163}}
</div>
</div>
这个推论给出了<math>\mathbb{R}^n</math>中集合序列紧致的[[充分条件]]。另一方面，可以证明序列紧致的集合必然是有界闭集。这样就将充分条件推进为充要条件：
<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:10px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:90%;">
<div style="font-size:105%;">'''定理 2'''：
</div>
<div style="margin-left:6px;margin-top:6px;font-size:100%;">
<math>\mathbb{R}^n</math>中的一个[[子集]]<math>E</math>是序列紧致的，当且仅当<math>E</math>是有界闭集。{{r|era|page1=163}}
</div>
</div>
由于有限维-{zh-cn:赋范;zh-tw:賦範}-向量空间都与装备了欧几里德范数的<math>\mathbb{R}^n</math>[[同胚]]，所以以上的定理都可以扩展到任意有限维-{zh-hans:赋范;zh-hant:賦範}-向量空间。{{r|avs|page1=132}}

==证明==
证明的关键是定理的核心部分，也就是定理1：任一<math>\mathbb{R}^n</math>中的有界序列<math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>都至少包含一个收敛的子列。
<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:10px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:90%;">
<div style="font-size:105%;">'''引理'''：
</div>
<div style="margin-left:6px;margin-top:6px;font-size:100%;">
任何[[实数]]列必然包含[[单调函数|单调]]的子列。{{r|era|page1=55}}
</div>
</div>

<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:10px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:90%;">
<div style="font-size:105%;">'''引理的证明'''：{{r|era|page1=55-56}}
</div>
<div style="margin-left:6px;margin-top:6px;font-size:100%;">
设有实数列<math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>，定义集合：<math>X = \{ a_k ; \ \forall n \ge k , \ a_k \ge a_n \}</math>。集合中的每个元素，都比序列中排在其后的所有元素都大。
*如果<math>X</math>中有无限个元素，在其中取下标递增的一个数列，那么这个数列是<math>(a_n)_{n \ge 0}</math>的子列，并且单调递减，构造完毕。
*如果<math>X</math>中元素个数有限，那么设<math>N</math>为<math>X</math>中元素的下标中最大的一个。对任意<math>n > N</math>，考虑<math>a_n</math>，<math>a_n</math>不在集合<math>X</math>中，所以<math>a_n</math>之后至少会有一个元素大于<math>a_n</math>。换句话说，序列<math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>里面排在<math>a_N</math>後面的任一元素，它後面都必然还有一个比它大的元素。于是取<math>k_0 = N+1</math>，<math>\scriptstyle k_1 > k_0</math>为第一个大于<math>a_{k_0}</math>的元素的下标，<math>\scriptstyle k_2 > k_1</math>为第一个大于<math>a_{k_1}</math>的元素的下标，依此类推，就可以得到<math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>的一个单调递增的子列。

综上可得，任何[[实数]]列必然包含单调的子列。
</div>
</div>

<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:10px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:90%;">
<div style="font-size:105%;">'''定理的证明'''：{{r|era|page1=447}}
</div>
<div style="margin-left:6px;margin-top:6px;font-size:100%;"> 
先考虑一维（也就是<math>n = 1</math>）的情况。给定有界的实数列<math>(a_k)_{k \in \mathbb{N}}</math>，取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增，由于数列有上界，依据[[单调收敛定理#单调实数序列的收敛性|数列的单调收敛定理]]，这个子列必然收敛。

对于高维（<math>n \geqslant 2</math>）的情况，证明的思路是取多次子列。

设<math>(a_k)_{k\in \mathbb{N}} = (a_{1k} , a_{2k} , \cdots , a_{nk})_{k\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^n</math>为一个有界序列，则<math>n</math>个实数列<math>(a_{ik})_{k\in \mathbb{N}} , 1 \le i \le  n</math>都是有界数列。于是存在<math>(a_k)_{k\in \mathbb{N}}</math>的子列<math>(a_{\phi_1 ( k)})_{k \in \mathbb{N}}</math>使得<math>(a_{1 \phi_1 (k)})_{k\in \mathbb{N}}</math>收敛。但是<math>(a_{\phi_1 ( k)})_{k\in \mathbb{N}}</math>仍是有界数列，因而存在子列<math>(a_{\phi_2 (\phi_1 ( k))})_{k\in \mathbb{N}}</math>使得<math>(a_{2 \phi_2 (\phi_1 (k))})_{\in \mathbb{N}}</math>也收敛（注意这里<math>(a_{1 \phi_2 (\phi_1 (k))})_{k\in \mathbb{N}}</math>必然是收敛的）。在进行类似的<math>n</math>次操作后，我们就可以得到一个子列，使得<math>\forall 1 \le i \le n, \ (a_{i \phi_n ( \cdots \phi_2 (\phi_1 (k)) \cdots  )})_{k\in \mathbb{N}}</math>都收敛，也就是说存在子列<math> \ (a_{\phi_n ( \cdots \phi_2 (\phi_1 (k)) \cdots )})_{k\in \mathbb{N}}</math>收敛。证毕。
</div>
</div>

==波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质==
在有限维度量空间中，波尔查诺-魏尔斯特拉斯说明了序列紧致的集合就是有界闭集。然而在一般的度量空间中，有界闭集不一定是序列紧致的。为此，拓扑学中将一般度量空间中的序列紧致称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。
<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:10px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:90%;">
<div style="font-size:105%;">'''定义'''：
</div>
<div style="margin-left:6px;margin-top:6px;font-size:100%;">
设<math>K</math>为度量空间<math>(E ; \; d)</math>的子集。若<math>K</math>中任一序列<math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>都包含一个收敛的子列，其极限也是<math>K</math>中元素，就称<math>K</math>具有波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。{{r|era|page1=598}}
</div>
</div>
如果度量空间本身满足波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质，就称这个度量空间为紧空间。在度量空间中，波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质等价于海恩-波莱尔性质：所有<math>K</math>的[[开覆盖]]都[[有限集合|有限]]子覆盖{{r|era|page1=602}}。

==参考来源==
{{reflist
|refs=
<ref name="era">{{cite book|author=Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner, Andrew M. Bruckner|title=Elementary Real Analysis|year=2008|publisher=CreateSpace|isbn=9781434843678|language=en}}</ref>
<ref name="avs">{{cite book|author=Mustafa A. Akcoglu, Paul F.A. Bartha, Dzung Minh Ha|title=Analysis in Vector Spaces|year=2011|publisher=John Wiley & Sons|isbn=9781118164594}}</ref>  
}}
* Fitzpatrick, Patrick M. (2006) ''Advanced Calculus'' (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

==外部連結==
{{refbegin}}
* {{springer|title=Bolzano-Weierstrass theorem|id=p/b016880}}
* [http://ram.rachum.com/bw.htm A proof of Bolzano–Weierstrass Theorem] {{Wayback|url=http://ram.rachum.com/bw.htm |date=20160316114127 }}
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=2129 PlanetMath: proof of Bolzano–Weierstrass Theorem] {{Wayback|url=http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=2129 |date=20210417054732 }}
* [http://www.youtube.com/watch?v=dfO18klwKHg Proof of Bolzano–Weierstrass Theorem as a rap] {{Wayback|url=http://www.youtube.com/watch?v=dfO18klwKHg |date=20201120003419 }}
* [http://www.nakedprogrammer.com/BalzanoWeierstrass.html  Demonstration of Bolzano–Weierstrass Theorem ] {{Wayback|url=http://www.nakedprogrammer.com/BalzanoWeierstrass.html |date=20131226021451 }}
{{refend}}

{{点集拓扑}}

{{DEFAULTSORT:Bolzano–Weierstrass}}
[[Category:实分析定理]]
[[Category:紧致性定理]]