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'''波尔文积分'''（{{lang-en|Borwein integral}}）是一种由波尔文父子发现的性质特殊的[[积分]]，常用于作为看似存在的数学规律最终失效的例子。2001年，[[大卫·波尔文]]和{{link-en|乔纳森·波尔文|Jonathan Borwein}}共同发表了这个涉及[[sinc函数]]的积分<ref name=":0">{{Citation |last1=Borwein |first1=David |last2=Borwein |first2=Jonathan M. |title=Some remarkable properties of sinc and related integrals |trans_title=sinc函数及其相关积分的一些引人注意的性质 |doi=10.1023/A:1011497229317 |mr=1829810 |year=2001 |journal=''The Ramanujan Journal'' |issn=1382-4090 |volume=5 |issue=1 |pages=73–89 |language=en}}</ref>。

常见的例子为：
: <math>
\begin{align}
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx= \frac \pi 2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3} \, dx = \frac \pi 2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5} \, dx = \frac \pi 2
\end{align}
</math>

这种规律一直到 
: <math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13} \, dx = \frac \pi 2.</math>
都是成立的。

但是到了下一个数，这个规律就突然失效了：
: <math>
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15} \, dx
 &= \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]
 &= \frac \pi 2 - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]
 &\simeq \frac \pi 2 - 2.31\times 10^{-11}.
\end{align}
</math>

== 公式 ==

对于给定的一系列非零实数，即<math>a_0,a_1,a_2\cdots</math>，可以给出<math>\int_0^\infty\prod_{k=0}^n\frac{\sin(a_kx)}{a_kx}\mathrm dx</math>的封闭公式形式。为了计算这个公式，其中需要做的就是计算含有<math>a_k</math>相关的量之和。特别的，设<math>\gamma=(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n)\in\{\pm1\}^n</math>即由<math>\pm1</math>构成的<math>n</math>元组，于是可以写成<math>b_\gamma=a_0+\gamma_1a_1+\gamma_2a_2+\cdots+\gamma_na_n</math>即有关<math>a_k</math>的各种加减形式的总和，并且令<math>\varepsilon_\gamma=\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n</math>（其结果为<math>\pm1</math>）。基于上述定义，可以得到该积分的值为：

: <math>\int_0^\infty\prod_{k=0}^n\frac{\sin(a_kx)}{a_kx}\mathrm dx=\frac{\pi}{2a_0}\cdot C_n</math>

其中：

: <math>C_n=\frac1{2^n\cdot n!\prod_{k=1}^na_k}\cdot\sum_{\gamma\in\{\pm1\}^n}\varepsilon_\gamma b_\gamma^n\operatorname{sgn}(b_n)</math>

在这里如果<math>a_0>|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|</math>，那么有<math>C_n=1</math>。

进一步地，如果存在一个<math>n</math>对于每个<math>k=0,\cdots,n-1</math>总有<math>0<a_n<2a_k</math>成立，并且有<math>a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}<a_0<a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n</math>，即<math>n</math>为首次超过<math>a_0</math>的前几项之和时的元素数量，即当<math>k=0,\cdots,n-1</math>时有<math>C_k=1</math>，但在其他情况时：

:<math>C_n=1-\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n-a_0)^n}{2^{n-1}\cdot n!\prod_{k=1}^na_k}</math>

在这里令<math>a_k=\frac1{2k+1}</math>，即当<math>n=7</math>时<math>a_7=\frac1{15}</math>，此时<math>\frac13+\frac15+\frac17+\frac19+\frac1{11}+\frac1{13}\approx0.955</math>但是<math>\frac13+\frac15+\frac17+\frac19+\frac1{11}+\frac1{13}+\frac1{15}\approx1.02</math>，又由于<math>a_0=1</math>，于是该公式成立（并且移去其中任何因子也成立）：

: <math>\int_0^\infty\frac{\sin x}x\cdot\frac{\sin\frac x3}{\frac x3}\cdots\frac{\sin\frac x{13}}{\frac x{13}}\mathrm dx=\frac\pi2</math>

但在另一方面，则有：

: <math>\int_0^\infty\frac{\sin x}x\cdot\frac{\sin\frac x3}{\frac x3}\cdots\frac{\sin\frac x{15}}{\frac x{15}}\mathrm dx=\frac\pi2\left[1-\frac{\left(\frac13+\frac15+\frac17+\frac19+\frac1{11}+\frac1{13}+\frac1{15}-1\right)^7}{2^6\cdot7!\cdot(3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11\cdot13\cdot15)^{-1}}\right]</math>

即与前面给出的公式的结果相同。

== 参考资料 ==
{{Reflist}}


{{DEFAULTSORT:Borwein integral}}
[[Category:积分]]
[[Category:数学反例]]