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在[[數學]]中，我們可以構造任意[[李代數]] <math>L</math> 的'''泛包絡代數''' <math>U(L)</math>。李代數一般並非[[結合代數]]，但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的[[表示理論]]可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上，泛包絡代數可以解釋為[[李群]]上的左不變微分算子。

==泛性質==
以下固定[[域 (數學)|域]] <math>K</math>。首先注意到：對任意帶乘法單位元的 <math>K</math>-結合代數 <math>U</math>，定義括積 <math>[a,b] := ab -ba</math>，可視 <math>U</math> 為李代數。

泛包絡代數係指帶單位元的結合代數 <math>U(L)</math> 及一個指定的李代數同態 <math>i: L \to U(L)</math>。這對資料由下述[[泛性質]]刻劃：

對任意帶乘法單位元的 <math>K</math>-結合代數 <math>A</math>， 若存在李代數同態
: <math>h: L \to A</math>。

則存在唯一的代數同態
: <math>g: U(L) \to A</math>
使之滿足
: <math>g \circ i = h</math>

換言之，[[函子]] <math>L \mapsto U(L)</math> 滿足下述關係：
: <math>\mathrm{Hom}_{\mbox{Alg.}}(U(L), A) \stackrel{\sim}{\to} \mathrm{Hom}_{\mbox{Lie alg.}}(L, A)</math>
: <math>g \mapsto g \circ i</math>
藉此，可視 <math>U(-)</math> 為 <math>U</math>（單位結合代數）<math>\mapsto U</math>（李代數）的左[[伴隨函子]]。

==構造方式==
首先考慮[[張量代數]] <math>T(L)</math>，此時有自然的包含映射 <math>i_0: L \to T(L)</math>。取 <math>I \subset T(L)</math> 為下列元素生成的雙邊理想
: <math> a \otimes b - b \otimes a - [a,b] \quad (a,b \in L)</math>
定義
:<math>U(L) := T(L)/I</math>
所求的映射 <math>i: L \to U(L)</math> 為 <math>i_0: L \to T(L)</math> 與商映射的合成。容易驗證 <math>i</math> 保存李括積。

根據上述構造，可直接驗證所求的泛性質。

==基本性質==
* 若 <math>L</math> 可交換，則 <math>U(L)</math> 亦然；此時 <math>U(L)</math> 同構於[[多項式]]代數。
* 若 <math>L</math> 來自李群 <math>G</math>，則 <math>U(L)</math> 可理解為 <math>G</math> 上的左不變微分算子。
* <math>U(L)</math> 的中心 <math>Z(U(L))</math> 顯然包含 <math>i(Z(L))</math>，但不僅如此，通常還包括更高階的元素，例如[[喀希米爾元素]]；這種元素給出李群上的[[拉普拉斯算子]]。

==庞加莱-伯克霍夫-维特定理==
{{main|庞加莱-伯克霍夫-维特定理}}
庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數 <math>L</math> 的基 <math>X_1, \ldots, X_n</math>，此定理斷言

: <math>X_1^{e_1} \cdots X_n^{e_n} \quad (e_1, \ldots, e_n \in \Z_{\geq 0})</math>

是 <math>U(L)</math> 的基。此定理的直接推論是：<math>i: L \to U(L)</math> 為單射。

==表示理論==
在泛性質中取 <math>A = \mathrm{End}(V)</math>，其中 <math>V</math> 為任意向量空間，遂可等同 <math>L</math> 的表示與 <math>U(L)</math> 的表示，後者不外是 <math>U(L)</math>-[[模 (數學)|模]]。藉此觀點，李代數表示理論可視為模論的一支。

[[群代數]]之於[[群表示]]一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有[[霍普夫代數]]結構。

==文獻==
<div class="references-small">
<references />
</div>
* Dixmier, Jacques, ''Enveloping algebras''. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6

[[Category:李代數|T]]
[[Category:李代數表示論|T]]
[[Category:霍普夫代數|T]]