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'''泊松求和公式'''（[[英文]]：{{lang|en|'''Poisson Summation Formula'''}}）由法國數學家[[西莫恩·德尼·帕松|泊松]]所發現，它陳述了一個連續時間的信號，做無限多次的週期複製後，其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係，亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。

==公式==
设无周期函数<math>s(x)</math>具有[[傅里叶变换]]：
:<math>S(f) \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} s(x)\ e^{-i2\pi fx}\, dx</math>
这里的<math>S(f)</math>也可以替代表示为<math>\hat s(f)</math>和 <math>\mathcal{F}\{s\}(f)</math>。有如下基本的泊松求和公式：
:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty s(n)=\sum_{k=-\infty}^\infty S(k)</math>

对于二者通过{{en-link|周期求和|Periodic summation}}而得到的[[周期函数]]：
:<math>s_{_P}(x) \triangleq \sum_{n=-\infty}^{\infty} s(x + nP), \quad n \in \mathbb{Z}</math>
:<math>S_{1/T}(f) \triangleq \sum_{k=-\infty}^{\infty} S(f + k/T), \quad k,T \in \mathbb{Z}</math>
这里的参数<math>T>0</math>并且<math>P>0</math>，它们有着同<math>x</math>一样的单位。有如下普遍的泊松求和公式<ref name=Pinsky/><ref name=Zygmund/>：
:<math>s_{_P}(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \underbrace{\frac{1}{P}\cdot S(k/P)}_{S[k]}\ e^{i 2\pi \frac{k}{P} x }, \quad k \in \mathbb{Z}</math>
这是一个[[傅里叶级数]]展开，其系数是函数<math>S(f)</math>的采样。还有：
:<math>S_{1/T}(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \underbrace{T\cdot s(nT)}_{s[n]}\ e^{-i 2\pi n Tf}, \quad n,T \in \mathbb{Z}</math>
这也叫做[[离散时间傅里叶变换]]。

==推導泊松求和公式所需的先備公式==
考慮[[狄拉克δ函數]]<math>\delta(t)</math>，製作一個有無限多個<math>\delta(t)</math>，且間隔為<math>T_0</math>的週期函數<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)</math>。

其傅立葉轉換為①<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}=</math>②<math>\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{n}{T_0}\right)</math>

===證明①轉換對===
<math>\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)\right\}</math>=<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}\left\{\delta(t-nT_0)\right\}</math>
=<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}</math>。

===證明②轉換對===
設<math>c_n</math>為週期函數<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)</math>的傅立葉級數。

<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)</math>可表示為<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n{e^{j2\pi{n\frac{t}{T_0}}}}</math>。

由[[傅立葉級數]]得:

<math>c_n=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta(t-mT_0)e^{-j2\pi{n}\frac{t}{T_0}}dt=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\delta(t)e^{-j2\pi{n}\frac{t}{T_0}}dt=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\delta(t)e^{-j2\pi{n}\frac{0}{T_0}}dt=\frac{1}{T_0}</math>。

因此，<math>\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)\right\}=\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n{e^{j2\pi{n\frac{t}{T_0}}}}\right\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T_0}\mathcal{F}\left\{e^{j2\pi{n\frac{t}{T_0}}}\right\}=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(f-n\frac{1}{T_0})</math>。

得到等式:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}=</math><math>\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{n}{T_0}\right)</math>，

經由適當的變量代換，<math>T_0</math>以<math>\frac{1}{T_0}</math>代換，<math>f</math>以<math>t</math>代換，得<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT_0\right)=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi n\frac{1}{T_0}t}=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}</math>(因為n從負無限大到正無限大)

==推導泊松求和公式==

===從對頻域做取樣尋找關係式===

<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t-nT_0)</math>

<math>=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)*\delta(t-nT_0)</math>

<math>=x(t)*\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)</math>

<math>=x(t)*\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}</math>

<math>=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)*e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}</math>

<math>=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}(t-\tau)}d\tau</math>

<math>=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{[\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-j2\pi n\frac{1}{T_0}\tau}d\tau ]e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}\right\}</math>

<math>=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\frac{n}{T_0})e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}</math>

當<math>t=0</math>時，得<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_0)=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\frac{n}{T_0})</math>，

表示一個信號的在時域以<math>T_0</math>為間隔做取樣，在頻域以<math>\frac{1}{T_0}</math>為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有<math>T_0</math>倍的關係。

-----------------------------------------------------

===從對時域做取樣尋找關係式===

<math>\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f-\frac{n}{T_0})</math>

<math>=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f)*\delta(f-\frac{n}{T_0})</math>

<math>=X(f)*[\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(f-\frac{n}{T_0})]</math>

<math>=X(f)*\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}</math>

<math>=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f)*e^{-j2\pi nT_0f}</math>

<math>=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}X(\lambda)e^{-j2\pi nT_0(f-\lambda)}d\lambda</math>

<math>=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{[\int_{-\infty}^{\infty}X(\lambda)e^{j2\pi nT_0\lambda}d\lambda]e^{-j2\pi nT_0f}\right\}</math>

<math>=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_0)e^{-j2\pi nT_0f}</math>

當<math>f=0</math>時，得<math>\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\frac{n}{T_0})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_0)</math>，

表示一個信號的在時域以<math>T_0</math>為間隔做取樣，在頻域以<math>\frac{1}{T_0}</math>為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有<math>T_0</math>倍的關係。

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綜合上述，若時域取樣間隔<math>T_0=1</math>時，同樣地，頻域取樣間隔<math>\frac{1}{T_0}=1</math>時，得泊松求和公式<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k)</math>。

==週期信號的傅立葉轉換==
考慮一個週期為<math> {T_0}</math>的週期信號<math>g(t)</math>，<math>G(f)</math>為<math>g(t)</math>的[[傅立葉轉換]]，取出g(t)在區間<math>[-\frac{T_0}{2},\frac{T_0}{2}]</math>的一個完整週期<math>x(t)</math>，亦即<math>x(t)=g(t)rect(\frac{t}{T_0})</math>，<math>X(f)</math>是<math>x(t)</math>的[[傅立葉轉換]]，其中<math>rect(t)</math>是[[矩形函數]]。<math>a_n</math>是<math>g(t)</math>的[[傅立葉級數]]。

則<math>G(f)</math>

<math>=\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}\right\}</math>

<math>=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n \delta(f-\frac{n}{T_0})</math>

<math>=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T_0}X(\frac{n}{T_0})\delta(f-\frac{n}{T_0})</math>

得出一週期信號的[[傅立葉轉換]]與其[[傅立葉級數]]之間的關係。

==引用==
{{reflist|1|refs=
<ref name=Pinsky>
{{citation |last=Pinsky |first=M. |title=Introduction to Fourier Analysis and Wavelets. |publisher=Brooks Cole |year=2002 |isbn=978-0-534-37660-4
}}</ref>

<ref name=Zygmund>
{{citation |title=Trigonometric Series |title-link=Trigonometric Series |first=Antoni |last=Zygmund |authorlink=Antoni Zygmund |publisher=Cambridge University Press |year=1968 |publication-date=1988 |isbn=978-0-521-35885-9 |edition=2nd
}}</ref>
}}
==延伸阅读==
*{{citation |first1=J.J. |last1=Benedetto |first2=G. |last2=Zimmermann |title=Sampling multipliers and the Poisson summation formula |journal=J. Fourier Ana. App. |volume=3 |year=1997 |issue=5 |url=https://www.uni-hohenheim.de/~gzim/Publications/sm.html |access-date=2008-06-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110524085311/https://www.uni-hohenheim.de/~gzim/Publications/sm.html |archive-date=2011-05-24 |url-status=dead}}
*{{citation |last1=Gasquet |first1=Claude |last2=Witomski |first2=Patrick |title=Fourier Analysis and Applications |publisher=Springer |year=1999 |pages=344–352 |isbn=0-387-98485-2}}
*{{citation |doi=10.1090/S0273-0979-1985-15293-0 |first=J.R. |last=Higgins |title=Five short stories about the cardinal series |journal=Bull. Amer. Math. Soc. |volume=12 |year=1985 |issue=1 |pages=45–89 |url=http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183552334 |doi-access=free |accessdate=2023-10-30 |archive-date=2020-08-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200812203317/https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183552334 |dead-url=no }}

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