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{{noteTA
|G1=物理学
}}
{{refimprove|time=2014-08-12T00:07:31+00:00}}
'''泊松方程'''（{{lang-fr|'''Équation de Poisson'''}}）是[[數學]]中一個常見於[[靜電學]]、[[機械工程]]和[[理論物理]]的[[偏微分方程式]]，因[[法國]][[數學家]]、[[几何学家列表|幾何學家]]及[[物理學家]][[泊松]]而得名的。<ref>{{citation|title=Glossary of Geology|editor1-first=Julia A.|editor1-last=Jackson|editor2-first=James P.|editor2-last=Mehl|editor3-first=Klaus K. E.|editor3-last=Neuendorf|series=American Geological Institute|publisher=Springer|year=2005|isbn=9780922152766|page=503|url=http://books.google.com/books?id=SfnSesBc-RgC&pg=PA503|accessdate=2015-05-30|archive-date=2020-11-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20201120150139/https://books.google.com/books?id=SfnSesBc-RgC&pg=PA503|dead-url=no}}.</ref>

==方程的叙述==
泊松方程式為

:<math>\Delta\varphi=f</math>

在這裡<math>\Delta</math>代表的是[[拉普拉斯算子]]，而<math>f</math>和<math>\varphi</math>可以是在[[流形]]上的[[實數]]或[[复数 (数学)|複數]]值的[[方程式]]。當[[流形]]屬於[[歐幾里得空間]]，而[[拉普拉斯算子]]通常表示為<math>{\nabla}^2</math>，因此泊松方程通常寫成

:<math>{\nabla}^2 \varphi = f</math>

在三維[[直角坐標系]]，可以寫成

:<math>
\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).
</math>

如果有<math>f(x,y,z)</math>恒等于0，這個方程式就會變成一个齐次方程，这个方程称作“[[拉普拉斯方程]]”。

:<math>\Delta \varphi = 0. \!</math>

泊松方程可以用[[格林函數]]來求解；如何利用[[格林函數]]來解泊松方程可以參考{{tsl|en|Screened Poisson equation|屏蔽泊松方程}}。現在也发展出很多種數值解，如{{le|松弛法|relaxation method}}（一种[[迭代法]]）。

==数学表达==
通常泊松方程式表示为
:<math>-\Delta\varphi=f</math>

这里<math>\Delta</math>代表[[拉普拉斯算子]]，<math>f</math>为已知函数，而<math>\varphi</math>为未知函数。当<math>f=0</math>   时，这个方程被称为[[拉普拉斯方程]]。

为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如[[狄利克雷边界条件]]:
:<math>
\begin{cases}
-\Delta \varphi = f & \text{in} \ \Omega \\
\varphi = g & \text{auf} \ \partial\Omega
\end{cases}
</math>
其中 <math>\Omega \subset \R^n</math> 为有界[[开集]]。

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:
:<math>\Phi(x) = \begin{cases}
-\dfrac{1}{2\pi}\ln |x| & n=2 \\
\dfrac{1}{n(n-2)\omega_n} \dfrac{1}{|x|^{n-2}} & n \ge 3
\end{cases}</math>
其中<math>\omega_n</math>为n维[[欧几里得空间]]中单位球面的体积，此时可通过[[卷积]]<math>(\Phi * f)</math>得到 <math>-\Delta\varphi= f</math>的解。

为了使方程满足上述边界条件，我们使用[[格林函数]]
:<math>G(x,y) = \Phi(y-x) - \phi^x(y)</math>
<math>\phi^x</math> 为一个校正函数，它满足
:<math>
\begin{cases}
\Delta \phi^x = 0 &\text{in} \ \Omega \\
\phi^x = \Phi(y-x) &\text{auf} \ \partial\Omega
\end{cases}
</math>

通常情况下<math>\phi^x</math>是依赖于<math>\Omega</math>。

通过 <math>G(x,y)</math>可以给出上述边界条件的解
:<math>u(x) = -\int_{\partial\Omega}g(y)\frac{\partial G}{\partial \nu}(x,y)\mathrm{d}\sigma(y) + \int_\Omega f(y) G(x,y) \mathrm{d}y</math>
其中<math>\sigma</math> 表示<math>\partial\Omega</math>上的曲面测度。

此方程的解也可通过[[变分法]]得到。

==靜電學==
在[[靜電學]]很容易遇到泊松方程。對於給定的''f''找出φ是一個很實際的問題，因為我們經常遇到給定[[電荷密度]]然後找出[[電位]]的問題。在[[國際單位制]]（[[SI]]）中：

:<math>{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}</math>

此<math> \Phi \! </math>代表電勢（單位為[[伏特]]），<math> \rho \!</math>是[[體電荷密度]]（單位為[[庫侖]]/立方公尺），而<math> \epsilon_0 \!</math>是[[真空電容率]]（單位為[[法拉]]/公尺）。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子，則

:<math>\rho = 0, \, </math>
此方程式就變成[[拉普拉斯方程]]：

:<math>{\nabla}^2 \Phi = 0.</math>

===高斯電荷分佈的電場===

如果有一個三維球對稱的[[高斯分佈]]電荷密度
<math>\rho(r)</math>：

:<math>\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},</math>

此處，''Q''代表總電荷

此泊松方程式：<math>{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}</math>
的解Φ(''r'')則為
:<math>\Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)
</math>

erf(''x'')代表的是[[误差函数]].

注意：如果''r''遠大於σ，erf(''x'')趨近於1，而電場Φ(''r'')趨近[[點電荷]]電場
<math>{1 \over 4 \pi \epsilon_0 } {Q \over r}</math>；正如我們所預期的。

==參閱==
* {{le|离散泊松方程|Discrete Poisson equation}}
* [[泊松-玻尔兹曼方程]]
* {{le|泊松方程的唯一性定理|Uniqueness theorem for Poisson's equation}}

== 参考文献 ==
=== 引用 ===
{{Reflist}}

=== 来源 ===
{{ReflistH}}
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde302.pdf Poisson Equation] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde302.pdf |date=20050525005452 }} at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* L.C. Evans, ''Partial Differential Equations'', American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.
{{ReflistF}}

==外部链接==
*{{springer|title=Poisson equation|id=p/p073290}}
*[http://planetmath.org/encyclopedia/PoissonsEquation.html Poisson's equation] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/PoissonsEquation.html |date=20120218060643 }} on [[PlanetMath]].

[[Category:場論|P]]
[[Category:偏微分方程|P]]
[[Category:橢圓型偏微分方程|P]]
[[Category:靜電學|P]]