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[[泛函分析]]中，'''沙滕范数'''（Schatten norm，或'''沙滕–冯·诺依曼范数'''，Schatten–von-Neumann norm）来自''p''-可积的推广，与[[迹类算子|迹类]][[范数]]、[[希尔伯特-施密特算子|希尔伯特-施密特]]范数相似。

==定义==
令<math>H_1,\ H_2</math>是希尔伯特空间，<math>T:\ H_1\to H_2</math>是（线性）有界算子。对<math>p\in [1,\infty)</math>，定义''T''的沙滕''p''-范数为

: <math> \|T\| _p = [\operatorname{Tr} (|T|^p)]^{1/p}, </math>
其中<math>|T|:=\sqrt{(T^*T)}</math>，平方根是算子平方根。

若''T''是紧的、<math>H_1,\,H_2</math>可分离，则

: <math> \|T\| _p := \bigg( \sum_{n\ge 1} s^p_n(T)\bigg)^{1/p} </math>

''T''的[[奇异值]]（即厄米算子<math>|T|:=\sqrt{(T^*T)}</math>的特征值）满足<math>s_1(T) \ge s_2(T) \ge \cdots \ge s_n(T) \ge \cdots \ge 0</math>。

==性质==
下面将''p''的范围推广到<math>[1,\infty]</math>，<math> \|\cdot\|_{\infty} </math>表示算子范数。指标<math>p=\infty</math>的对偶是<math>q=1</math>。

* 沙滕范数是酉不变的：对酉算子''U''、''V''、<math>p\in [1,\infty]</math>，

:: <math> \|U T V\|_p = \|T\|_p. </math>

* 它们满足[[赫尔德不等式]]：<math>\forall p\in [1,\infty],\ q</math>使得<math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>，以及定义在希尔伯特空间之间的算子<math> S\in\mathcal{L}(H_2,H_3), T\in\mathcal{L}(H_1,H_2)</math>，
:: <math> \|ST\|_1 \leq \|S\|_p \|T\|_q. </math>
若<math>p,q,r\in [1,\infty]</math>满足<math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = \tfrac{1}{r}</math>，则
:: <math>\|ST\|_r \leq \|S\|_p \|T\|_q</math>. 
赫尔德不等式的这后一个形式有更一般情形的证明（对非交换<math>L^p</math>空间，而非沙滕-p类。<ref name="Fock and Kosaki">{{cite journal |last1=Fack |first1=Thierry |last2=Kosaki |first2=Hideki |title=Generalized <math>s</math>-numbers of <math>\tau</math>-measurable operators. |journal=Pacific Journal of Mathematics |date=1986 |volume=123 |issue=2 |url=https://msp.org/pjm/1986/123-2/pjm-v123-n2-p03-s.pdf |access-date=2024-05-23 |archive-date=2023-12-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231205044821/https://msp.org/pjm/1986/123-2/pjm-v123-n2-p03-s.pdf |dead-url=no }}</ref>对于矩阵，见<ref>{{Cite journal |doi = 10.1007/BF01231769|title = Sharp uniform convexity and smoothness inequalities for trace norms|url = https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_1994-04_115_3/page/463|journal = Inventiones Mathematicae|volume = 115|pages = 463–482|year = 1994|last1 = Ball|first1 = Keith|last2 = Carlen|first2 = Eric A.|last3 = Lieb|first3 = Elliott H.|s2cid = 189831705}}</ref>）。

* 子乘性：<math>\forall p\in [1,\infty]</math>、定义在希尔伯特空间<math>H_1, H_2, H_3</math>之间的算子<math> S\in\mathcal{L}(H_2,H_3), T\in\mathcal{L}(H_1,H_2)</math>，
:: <math> \|ST\|_p \leq \|S\|_p \|T\|_p .</math>

* 单调性：对于<math> 1\leq p\leq p'\leq\infty</math>，

:: <math> \|T\|_1 \geq \|T\|_p \geq \|T\|_{p'} \geq \|T\|_\infty. </math>

* 对偶性：令<math>H_1, H_2</math>为有限维希尔伯特空间，<math> p\in [1,\infty]</math>，''q''满足<math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>，则

:: <math> \|S\|_p = \sup\lbrace |\langle S,T\rangle | \mid \|T\|_q = 1\rbrace, </math>

: 其中<math>\langle S,T\rangle = \operatorname{tr}(S^*T) </math>表示[[希尔伯特-施密特算子]]。

*令<math> (e_k)_k,(f_{k'})_{k'}</math>为希尔伯特空间<math>H_1, H_2</math>的两个正交基，则对<math> p=1</math>

:: <math> \|T\|_1 \leq \sum_{k,k'}\left|T_{k,k'}\right|. </math>

==备注==
注意<math>\|\cdot\|_2 </math>是希尔伯特-施密特范数（见[[希尔伯特-施密特算子]]），<math>\|\cdot\|_1 </math>是迹类范数（见[[迹类算子]]），<math>\|\cdot\|_\infty</math>是算子范数（见[[算子范数]]）。
对<math>p\in(0,1)</math>，函数<math>\|\cdot\|_p</math>是[[拟赋范空间]]的例子。

具有有限沙滕范数的算子称作[[沙滕类算子]]，其空间记作<math> S_p(H_1,H_2)</math>。此范数下<math> S_p(H_1,H_2)</math>是巴拿赫空间，对<math>p=2</math>是希尔伯特空间。

注意<math> S_p(H_1,H_2) \subseteq \mathcal{K} (H_1,H_2)</math>，后者即[[紧算子]]代数。这是因为，若和有限，则谱也有限或至多是可数无穷多，且以原点为极限点，因此是紧算子。

<math>p=1</math>情形常称作'''核范数'''（或迹范数、樊𰋀''n''-范数<ref>{{Cite journal|last=Fan|first=Ky.|date=1951|title=Maximum properties and inequalities for the eigenvalues of completely continuous operators|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America| volume=37|issue=11|pages=760–766|doi=10.1073/pnas.37.11.760|pmc=1063464|pmid=16578416|bibcode=1951PNAS...37..760F|doi-access=free}}</ref>）。

==另见==
[[矩陣範數#Schatten 范数]]

==参考文献==
{{reflist}}
* Rajendra Bhatia, Matrix analysis, Vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
* [[John Watrous (computer scientist)|John Watrous]], Theory of Quantum Information, [https://web.archive.org/web/20160304053759/https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/CS766/LectureNotes/02.pdf 2.3 Norms of operators], lecture notes, University of Waterloo, 2011.
* Joachim Weidmann, Linear operators in Hilbert spaces, Vol. 20. Springer, New York, 1980.

[[Category:算子理论]]