查看“︁沃尔斯滕霍尔姆定理”︁的源代码

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在[[數論]]上，'''沃尔斯滕霍尔姆定理'''說明，對於大於或等於[[5]]的[[質數]]，有
* <math>{2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}</math>
* <math>{ap \choose bp} \equiv {a \choose b} \pmod{p^3}</math>
* <math>(p-1)!\left(1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+...+{1 \over p-1}\right) \equiv 0 \pmod{p^2}</math>
* <math>(p-1)!^2\left(1+{1 \over 2^2}+{1 \over 3^2}+...+{1 \over (p-1)^2}\right) \equiv 0 \pmod{p}</math>

以上四個等式是等價的。

只有少數質數符合<math>{2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \, \bmod \, p^4</math>，現時已知有兩個這樣的質數，16843 及 2124679 （[[OEIS:A088164]]）。這類質數稱為[[沃尔斯滕霍尔姆素数]]，下一個這樣的質數如果存在，它大於10<sup>9</sup>。

這定理是19世紀[[英國]]數學家約瑟夫&#183;沃爾斯滕霍爾姆提出的。值得一提的是沃爾斯滕霍爾姆是[[吳爾芙]]的父親的朋友，也是吳爾芙小說《燈塔行》中奧古斯圖斯&#183;卡麥可的原形。

[[Category:数学定理|W]]