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在數學上，'''決定公理'''（'''Axiom of determinacy'''，常記做'''AD'''）是一個在1962年由{{link-en|揚·米切爾斯基|Jan Mycielski}}和{{link-en|雨果·斯坦豪斯|Hugo Steinhaus}}所提出的可能的[[集合論]][[公理]]，這公理探討的是特定類型且長度為[[序數|ω]]的二人{{link-en|拓樸遊戲|Topological game}}，而決定公理聲稱，任何這類的遊戲都是{{link-en|決定性|determinacy|決定的}}，也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。

他們發展出決定公理的動機是這公理的有趣結果，他們並指出這公理可在集合論的最小自然模型{{link-en|L(R)|}}中成立，這模型只接受較弱版本的選擇公理，但包括了所有的[[實數]]和[[序數]]。決定公理的一些結果，可由早前由[[斯特凡·巴拿赫]]、{{link-en|斯坦尼斯瓦夫·馬祖爾|Stanisław Mazur}}以及莫頓·戴維斯（Morton Davis）等人證明的定理得出；而米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏則證明了另一個結果，那就是在決定公理下，所有[[實數]]的集合都是[[勒貝格測度|勒貝格可測]]的。之後Donald A. Martin等人證明了更多重要的結果，尤其在[[描述集合論]]方面更是如此。在1988年，{{link-en|約翰·斯蒂爾|John R. Steel}}與{{link-en|烏丁|W. Hugh Woodin}}總結了一長串的研究，並證明說在類似<math>\alef_0</math>的[[不可數]][[基数 (数学)|基數]]存在的狀況下，米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏原先的猜想，也就是「決定公理在集合論的最小自然模型{{link-en|L(R)|}}中成立」這點是對的。

==具決定性的遊戲==
決定公理所談論的遊戲具有特定的定義，而其定義如次：

考慮所有自然數的無限序列組成的{{link-en|貝爾空間|Baire space (set theory)}}<math> \omega^{\omega}</math>的子集合<math>A</math>，而其中兩個玩家'''1p'''與'''2p'''輪流選取自然數
:<math>n_0, n_1, n_2, n_3, ...</math>
在經過無限步後，可得一序列<math>(n_i)_{i \in \omega}</math>，其中玩家'''1p'''獲勝當且僅當這序列是<math>A</math>的元素。而決定公理講的是任何這類的遊戲都是決定的，也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。

不是所有的遊戲的決定性，都需要動用決定公理來證明。在<math>A</math>是一個[[閉開集]]的情況下，那這遊戲基本是有限的，也因此是決定的；相似地，若<math>A</math>是一個[[閉集]]，那這遊戲是決定的。在1975年，{{link-en|唐纳德·A·馬丁|Donald A. Martin}}證明說若一個遊戲必勝策略是一個[[博雷爾集]]的話，那這遊戲是決定的；此外，在有[[大基數|足夠大的基數]]存在的狀況下，所有必勝策略是{{link-en|射影集|projective set}}的遊戲都是決定的，而決定公理在{{link-en|L(R)|}}中成立。

另外，決定公理蘊含說對於任何[[實數線]]的子空間<math>X</math>而言，{{link-en|巴拿赫－馬祖爾遊戲|Banach–Mazur game}}<math>BM(X)</math>是決定的（也因此所有的實數集合都具有[[貝爾性質]]）。

== 決定公理與選擇公理的不相容性 ==
在假定選擇公理成立的狀況下，我們可以構造決定公理的一個反例。集合<math>S_1</math>是<math>\omega</math>－遊戲<math>G</math>中玩家一的所有策略，其大小與[[連續統]]相同；而類似地，<math>S_2</math>是同樣遊戲中玩家二的所有策略。設<math>SG</math>為<math>G</math>中所有可能序列的集合，並假定<math>A</math>是<math>SG</math>中使玩家一獲勝的子序列，那麼利用選擇公理我們可以為連續統構造一個[[良序]]，且我們可以構造出一個任何真初始部分都小於連續統的排序，而我們可利用這樣的良序集<math>J</math>來給<math>S_1</math>跟<math>S_2</math>上指標，並藉此將<math>A</math>給構造成決定公理的一個反例。

我們從空集合<math>A</math>與<math>B</math>開始。設<math>\alpha \in J</math>是集合<math>S_1</math>跟<math>S_2</math>的指標，我們考慮玩家一的所有策略<math>S_1 = {s1(\alpha)}</math>及玩家二的所有策略<math>S_2 = {s2(\alpha)}</math>以確保對於任何策略，都會有另一個玩家的策略能將之勝過。對於任何玩家考慮的策略，我們都可生成一個序列，使得另一個玩家獲勝。設<math>t</math>是時間軸，其長度為<math>\aleph_0</math>且這時間軸用於所有的遊戲序列中，我們可以利用<math>A</math>上對<math>\alpha</math>的[[超限歸納法|超限遞歸]]來生成反例：

# 首先，考慮玩家一的策略<math>s1(\alpha)</math>。
# 將這策略套用於<math>\omega</math>－遊戲上，（連同玩家一的策略<math>s1(\alpha)</math>一起）可生成<math>\{a(1), b(2), a(3), b(4)...a(t), b(t+1),...\}</math>這序列，而這序列不屬於<math>A</math>，這是可能的，而這可能性是因為<math>\{b(2), b(4), b(6)...\}</math>這些選項的數量與連續統相同，而這數量比<math>J</math>的真初始部分<math>\{ \beta \in J | \beta < J \}</math>還要大所致。
# 現在（若這序列還不在<math>B</math>之內的話）將這序列加入<math>B</math>之中以表示<math>s1(\alpha)</math>失敗。（輸給<math>\{b(2), b(4), b(6)...\}</math>）
# 現在，考慮玩家二的策略<math>s2(\alpha)</math>。
# 將這策略套用於<math>\omega</math>－遊戲上，（連同玩家二的策略<math>s2(\alpha)</math>一起）可生成<math>\{a(1), b(2), a(3), b(4)...a(t), b(t+1),...\}</math>這序列，而這序列不屬於<math>B</math>，這是可能的，而這可能性是因為<math>\{a(1), a(3), a(5)...\}</math>這些選項的數量與連續統相同，而這數量比<math>J</math>的真初始部分<math>\{ \beta \in J | \beta < J \}</math>還要大所致。
# 現在（若這序列還不在<math>A</math>之內的話）將這序列加入<math>A</math>之中以表示<math>s2(\alpha)</math>失敗。（輸給<math>\{a(1), a(3), a(5)...\}</math>）
# 利用對<math>\alpha</math>的[[超限歸納法]]，對<math>S_1</math>跟<math>S_2</math>的所有可能策略如是操作，對於所有在這之後不在<math>A</math>或<math>B</math>中的策略，將之任意分派給<math>A</math>或<math>B</math>，使得<math>B</math>為<math>A</math>的補集。

當這一切完成後，準備<math>\omega</math>－遊戲<math>G</math>，而在這遊戲中，對於任何玩家一的策略<math>s1</math>，存在一個<math>\alpha \in J</math>使得<math>s1 = s1(\alpha)</math>，而<math>A</math>的構造方式保證<math>s1(\alpha)</math>失敗（輸給<math>\{b(2), b(4), b(6)...\}</math>），因此<math>s1</math>失敗；類似地，任何玩家的任何其他策略都會失敗，因此決定公理與選擇公理不相容。

== 無窮邏輯與決定公理 ==
在二十世紀晚期，人們提出多種不同的{{link-en|無窮邏輯|Infinitary logic}}，其中一個認為決定公理為真的理由是因為這公理可（在某種無窮邏輯當中）寫成以下形式：

<math>\forall G \subseteq Seq(S):</math>

<math>\forall a \in S: \exists a' \in S: \forall b \in S: \exists b' \in S: \forall c \in S: \exists c' \in S ... : (a,a',b,b',c,c'...) \in G </math> OR

<math>\exists a \in S: \forall a' \in S: \exists b \in S: \forall b' \in S: \exists c \in S: \forall c' \in S ... :(a,a',b,b',c,c'...) \notin G </math>

註：<math>Seq(S)</math>是<math>S</math>的所有<math>\omega</math>－序列。此處的句子長度無限，且在省略號出現處，有可數無窮多的[[量化 (數理邏輯)|量化詞]]序列。

== 大基數與決定公理 ==
決定公理的相容性，與[[大基數]]相關公理的相容性息息相關。根據{{link-en|烏丁|W. Hugh Woodin}}的一個定理，不帶有選擇公理而帶有決定公理的[[策梅洛-弗蘭克爾集合論]]的相容性，等價於帶有選擇公理並帶有{{link-en|烏丁基數|Woodin cardinal}}的[[策梅洛-弗蘭克爾集合論]]的相容性。由於烏丁基數是強[[不可達基數]]之故，因此若決定公理是相容的，那不可達基數的無限性也是相容的。

此外，若假設有無窮多個烏丁基數，且其上還存在一個[[可測基數]]，大於該些烏丁基數，則可得到一個非常強的、關於[[勒貝格可測]]的實數集合的理論，而這是因為可以證明決定公理在{{link-en|L(R)|}}中成立，因此所有在{{link-en|L(R)|}}中的實數集合都是決定的之故。

== 參見 ==

* {{link-en|實決定公理|Axiom of real determinacy}} (AD<sub>R</sub>)
* {{link-en|博雷爾決定性定理|Borel determinacy theorem}}
* {{link-en|馬丁測度|Martin measure}}
* {{link-en|拓樸遊戲|Topological game}}

== 參考資料 ==
* {{Cite journal | last1=Mycielski | first1=Jan | author1-link = Jan Mycielski | last2=Steinhaus | first2=Hugo | author2-link = Hugo Steinhaus | title=A mathematical axiom contradicting the axiom of choice | mr=0140430 | year=1962 | journal=Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques | issn=0001-4117 | volume=10 | pages=1–3 }}
* {{cite journal|last1=Mycielski | first1=Jan | author1-link = Jan Mycielski | last2=Świerczkowski | first2=Stanisław | author2-link = Stanisław Świerczkowski|title=On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness|journal=Fund. Math.|volume=54|
year=1964|pages=67–71| doi=10.4064/fm-54-1-67-71 |doi-access=free}}
* {{cite journal|author=Woodin, W. Hugh | author-link = W. Hugh Woodin |journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]|year=1988|title=Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees|volume=85|issue=18|pages=6587–6591|doi=10.1073/pnas.85.18.6587|pmid=16593979|pmc=282022| doi-access = free }}
* {{cite journal|last1=Martin |first1=Donald A. |author1-link=Donald A. Martin |first2=John R. |last2=Steel |author2-link=John R. Steel |date=Jan 1989|title=A Proof of Projective Determinacy |journal=[[Journal of the American Mathematical Society]] |volume=2 |issue=1 |pages=71–125 |doi=10.2307/1990913 |jstor=1990913 |doi-access=free }}
* {{cite book|last=Jech | first = Thomas | author-link = Thomas Jech | title=Set theory, third millennium edition (revised and expanded)|publisher=Springer|year=2002|isbn=978-3-540-44085-7}}
* {{cite book|last=Kanamori | first = Akihiro|author-link=Akihiro Kanamori|title=The Higher Infinite|title-link=The Higher Infinite|edition=2nd|year=2008|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-88866-6}}
* {{cite book|last1=Moschovakis |first1=Yiannis N. |author-link1=Yiannis N. Moschovakis |title=Descriptive set theory |date=2009 |publisher=American Mathematical Society |location=Providence, R.I. |isbn=978-0-8218-4813-5 |edition=2nd |url=http://www.math.ucla.edu/~ynm/lectures/dst2009/dst2009.pdf |url-status= |archive-url=https://web.archive.org/web/20141112111558/http://www.math.ucla.edu/~ynm/lectures/dst2009/dst2009.pdf |archive-date=2014-11-12 }}

== 延伸閱讀 ==

* Philipp Rohde, ''On Extensions of the Axiom of Determinacy'', Thesis, Department of Mathematics, University of Bonn, Germany, 2001
* [[Rastislav J. Telgársky|Telgársky, R.J.]] [http://telgarska.com/1987-RMJM-Telgarsky-Topological-Games.pdf ''Topological Games: On the 50th Anniversary of the Banach-Mazur Game''] {{Wayback|url=http://telgarska.com/1987-RMJM-Telgarsky-Topological-Games.pdf |date=20221109203953 }}, Rocky Mountain J. Math. '''17''' (1987), pp.&nbsp;227–276. (3.19 MB)
* [http://plato.stanford.edu/entries/large-cardinals-determinacy/ "Large Cardinals and Determinacy"] {{Wayback|url=http://plato.stanford.edu/entries/large-cardinals-determinacy/ |date=20220805024819 }} at the [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]

{{集合論}}

[[Category:集合論公理]]
[[Category:決定性]]
[[Category:大基數]]