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'''比耶鲁姆长度（Bjerrum length ）'''是衡量介质[[极化]]程度的一种方法，定义为：在介电常数为 <math>\epsilon_r</math> 的介质中，距离为<math>l_B</math> 的两个[[基本电荷]]对之间的静电势能<math>U(r)</math> 等于无规热能 <math>k_BT</math> （或者距离<math>l_B</math> 的一摩尔[[基本电荷]]对之间的静电势能 <math>U(r)</math> 等于无规热能 <math>RT</math> ）。

其中<math>k_B</math>为[[波尔兹曼常数]]，<math>T</math>为[[绝对温度]]，''R''[[氣體常數]] 是波茲曼常數 ''k'' 乘上[[阿伏伽德罗常數]] ''N<sub>A</sub>''。當使用[[摩尔 (单位)|摩爾]]數計算粒子數時，較常使用氣體常數。
比耶鲁姆长度以丹麦化学家{{link-en|比耶鲁姆| Niels Bjerrum}}<ref>http://www.rsc.org/delivery/_ArticleLinking/DisplayArticleForFree.cfm?doi=TF959550X001&JournalCode=TF</ref>的名字命名。比耶鲁姆长度是[[电解质]]体系、[[聚电解质]]体系和[[胶体]]分散系等中的一个很自然的尺度。<ref>{{cite book | last1=Russel | first1=William B. | first2=D. A. | last2=Saville | first3=William R. | last3=Schowalter | 
title=Colloidal Dispersions | url=https://archive.org/details/colloidaldispers0000russ | publisher=Cambridge University Press | location=New York | year=1989}}</ref>

在[[国际单位制]]中，比耶鲁姆长度为
:<math>
l_B = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0\epsilon_rk_BT}
</math>
其中，<math>e</math>为基本电荷的电量，<math>\epsilon_0</math>为[[真空电容率]]，<math>\epsilon_r</math>为溶液的[[相对介电常数]]。对于水溶液，在室温（<math>T=300K</math>），<math>\epsilon_r\approx 80</math>，于是<math>l_B \approx 0.7 \mbox{nm}</math>


在 [[高斯单位制]]中， <math>4\pi\epsilon_0 = 1</math> ，比耶鲁姆长度为

<math>l_B = \frac{e^2}{\epsilon_r k_B T}.</math>

== 例子 ==

基本电子对间的[[库伦势]]定义为：

<math>u\left( r \right)=\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{r}}r}</math>

空气中，<math>\epsilon_r</math> = 1，一摩尔相距为 
<math>r={{l}_{B}}</math> 的基本电子对，电势能为：

<math>u\left( {{l}_{B}} \right)=\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{l}_{B}}}N</math>

根据比耶鲁姆长度的定义，库伦势等于内能: <math>u\left( {{l}_{B}} \right)=RT</math>

<math>\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{l}_{B}}}N=RT\Rightarrow {{l}_{B}}=\frac{{{e}^{2}}N}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}RT}</math>

当温度 <math>T=298.15K</math> 时:


<math>{{l}_{B}}=\frac{1.386\times {{10}^{-4}}J\centerdot m\centerdot mo{{l}^{-1}}}{\left( 8.314J{{K}^{-1}}\times 298.15K \right)}=560\overset{\circ }{\mathop{A}}\,</math>



<math>560\overset{\circ }{\mathop{A}}</math> 在原子尺度上来说是一个非常长的距离，是原子半径的许多倍，当两个电荷的距离比这个距离小的时候，它们会感受到非常强烈的吸引（或排斥）力，由于库仑势能比布朗运动的能量高，它们会变得有规则。反之，当距离大于比耶鲁姆长度的时候，库仑力对电荷的束缚比较小，电荷显得更加自由。


==参考文献==
{{reflist}}

[[Category:物理化学]]