比耶鲁姆长度

比耶鲁姆长度（Bjerrum length ）是衡量介质极化程度的一种方法，定义为：在介电常数为 ${ϵ}_r$ 的介质中，距离为$l_B$ 的两个基本电荷对之间的静电势能$U(r)$ 等于无规热能 $k_{B}T$ （或者距离$l_B$ 的一摩尔基本电荷对之间的静电势能 $U(r)$ 等于无规热能 $RT$ ）。

其中$k_B$为波尔兹曼常数，$T$为绝对温度，R氣體常數 是波茲曼常數 k 乘上阿伏伽德罗常數 N_A。當使用摩爾數計算粒子數時，較常使用氣體常數。 比耶鲁姆长度以丹麦化学家Template:Link-en的名字命名。比耶鲁姆长度是电解质体系、聚电解质体系和胶体分散系等中的一个很自然的尺度。

在国际单位制中，比耶鲁姆长度为

$l_B=\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0{ϵ}_r{k}_{B}T}$

其中，$e$为基本电荷的电量，${ϵ}_0$为真空电容率，${ϵ}_r$为溶液的相对介电常数。对于水溶液，在室温（$T=300K$），${ϵ}_r\approx 80$，于是$l_B\approx 0.7\text{nm}$

在 高斯单位制中， $4\pi {ϵ}_0=1$ ，比耶鲁姆长度为

$l_B=\frac{e^2}{{ϵ}_r{k}_{B}T}.$

例子

基本电子对间的库伦势定义为：

$u\left(r\right)=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}r}$

空气中，${ϵ}_r$ = 1，一摩尔相距为 $r=l_B$ 的基本电子对，电势能为：

$u\left(l_B\right)=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{l}_B}N$

根据比耶鲁姆长度的定义，库伦势等于内能: $u\left(l_B\right)=RT$

$\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{l}_B}N=RT\Rightarrow l_B=\frac{e^{2}N}{4\pi {\epsilon }_{0}RT}$

当温度 $T=298.15K$ 时:

$l_B=\frac{1.386\times {10}^{-4}J\cdot m\cdot mo{l}^{-1}}{(8.314J{K}^{-1}\times 298.15K)}=560\stackrel{\circ }{A}$

$560\stackrel{\circ }{A}$ 在原子尺度上来说是一个非常长的距离，是原子半径的许多倍，当两个电荷的距离比这个距离小的时候，它们会感受到非常强烈的吸引（或排斥）力，由于库仑势能比布朗运动的能量高，它们会变得有规则。反之，当距离大于比耶鲁姆长度的时候，库仑力对电荷的束缚比较小，电荷显得更加自由。