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{{无穷级数}}
'''比值审敛法'''（Ratio test）是判别[[级数]]敛散性的一种方法，又称为'''[[达朗贝尔]]判别法'''（{{lang|en|D'Alembert's test}}）<ref>{{Cite book|title=数学分析|last=卓里奇|first=B.A.|isbn=9787040287554|edition=第7版}}</ref>。

== 定理 ==
[[File:Decision diagram for the ratio test (Chinese).png|thumb|比值审敛法判断流程表]]

设<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>为一级数，如果

<math>\lim_{n \to \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\rho</math>，

*当ρ<1时级数絕對收敛
*当ρ>1时级数发散
*当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。

== 证明 ==

如果<math>\rho<1</math>，那么存在一个实数<math>r</math>以及一个正整数<math>N</math>，满足<math>\rho<r<1</math>，使得当<math>n>N</math>时，总有<math>|a_{n+1}|<r|a_n|</math>成立；因此在上述条件下，当<math>k</math>为正整数时有<math>|a_{n+k}|<r^k|a_n|</math>，于是根据无穷[[等比数列]]求和得出下式绝对收敛：

:<math>\sum_{k=N+1}^\infty|a_k|=\sum_{k=1}^\infty|a_{N+k}|<|a_N|\sum_{k=1}^\infty r^k=\frac{|a_N|\cdot r}{1-r}<\infty</math>

如果<math>\rho>1</math>，那么同样存在一个正整数<math>N</math>，使得当<math>n>N</math>时，总有<math>|a_{n+1}|>|a_n|</math>，求和项的极限不为零，于是级数发散。

而当<math>\rho=1</math>时，以<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1n</math>与<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math>为例，结果同样为<math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac1{n+1}}{\frac1n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac1{(n+1)^2}}{\frac1{n^2}}\right|=1</math>，但前者发散而后者收敛（后者收敛值为<math>\frac{\pi^2}6</math>），该例子可以用[[比较审敛法]]来审敛。

== 例子 ==

=== 收敛 ===

考虑级数

:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^n}</math>

:<math>\begin{align}
   \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}                  {a_n}                   \right|
&= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}      {\frac{n}{e^n}}         \right|\\
&= \lim_{n\to\infty} \left|       \frac{n+1}{e^{n+1}}  \cdot \frac{e^n}{n}          \right|\\
&= \lim_{n\to\infty} \left|       \frac{n+1}{n}        \cdot \frac{e^n}{e^n\cdot e} \right|\\
&= \lim_{n\to\infty} \left| \left(1+\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{e}            \right|\\
&= 1\cdot\frac{1}{e} = \frac{1}{e} < 1.
\end{align}</math>

因此该级数收敛。

=== 发散 ===

考虑级数

:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{e^n}{n}</math>

:{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
|<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|</math>
|=<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right|</math>
|-
|
|=<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{e^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{e^n}\right|</math>
|-
|
|=<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n}{n+1}\cdot\frac{e^n\cdot e}{e^n}\right|</math>
|-
|
|=<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|(1-\frac{1}{n+1})\cdot e\right|</math>
|-
|
|=<math>1\cdot e</math>
|-
|
|=<math>\!\, e (>1)</math>
|}

因此该级数发散。

=== 不能确定 ===

级数
:<math>\sum_{n=1}^\infty 1</math>

发散，但 

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{1}\right| = 1.</math>

而级数

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} </math>

收敛，但

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\right| = 1.</math>

== 参见 ==
*[[根值审敛法]]
*[[比较审敛法]]
*[[拉比判别法]]

== 参考文献 ==
<references />
[[Category:级数]]
[[Category:审敛法]]

[[it:Criteri di convergenza#Criterio del rapporto (o di d'Alembert)]]