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{{unreferenced|time=2011-03-18T15:04:44+00:00}}
'''比例性质'''是代数学中常用的分式性质，主要包括合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质以及它们的推广。这四条性质多用于分式的计算和证明，以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中。其中尤其以等比性质的应用最为广泛。而比例的线性组合也具有多种多样的性质。

==合比性质==

===表述===

在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的后项的比。

===数学表示===

已知<math>a,b,c,d\in\mathbb{C}</math>，且有<math>b\neq0,d\neq0</math>，如果<math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>，则有<math>\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}</math>。

===证明===

<math>\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>

<math>\therefore \frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1</math>

<math>\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}</math>

证毕

==分比性质==

===表述===

在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。

===数学表示===

已知<math>a,b,c,d\in\mathbb{C}</math>，且有<math>b\neq0,d\neq0</math>，如果<math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>，则有<math>\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}</math>。

===证明===

<math>\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>

<math>\therefore \frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1</math>

<math>\therefore \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}</math>

证毕

==合分比性质==

===表述===

在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。

===数学表示===

已知<math>a,b,c,d\in\mathbb{C}</math>，且有<math>b\neq0,d\neq0</math>，如果<math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>，则有<math>\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}</math>。

===证明===

<math>\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>

令<math>k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>，则<math>a=b\cdot k,c=d\cdot k</math>

<math>\frac{a+b}{a-b}=\frac{bk+b}{bk-b}=\frac{k+1}{k-1}</math>

<math>\frac{c+d}{c-d}=\frac{dk+d}{dk-d}=\frac{k+1}{k-1}</math>

<math>\therefore \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}</math>

证毕

==等比性质==

===表述===

在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等

===数学表示===

已知<math>a,b,c,d\in\mathbb{C}</math>，且有<math>b\neq0,d\neq0</math>，如果<math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>，则有<math>\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>。

===证法一===

<math>\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>

令<math>k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>，则<math>a=b\cdot k,c=d\cdot k</math>

<math>\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=k</math>

<math>\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>

证毕

===证法二===

<math>\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>

<math>\therefore \frac{a}{c}=\frac{b}{d}</math>

由合比性质<math>\frac{a+c}{c}=\frac{b+d}{d}</math>

<math>\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}</math>

即<math>\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>

证毕

===推论===

已知<math>a_i,b_i\in\mathbb{C},i=1,2,\ldots,n</math>，且有<math>b_i\neq0</math>，如果<math>\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}</math>，则有<math>\frac{\sum_i^n{a_i}}{\sum_i^n{b_i}}=\frac{a_i}{b_i}</math>。

==比例的线性组合==

由上述性质以及其证明方法可以推广到任意的线性组合的比例性质。例如如下两条，分别从合分比性质和等比性质推广得到。

===合分比性质的线性组合推论===

已知<math>a,b,c,d\in\mathbb{C}</math>，且有<math>b\neq0,d\neq0</math>，如果<math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>，则有<math>\frac{\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}=\frac{\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}</math>。

'''证明：'''

<math>\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>

令<math>k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>，则<math>a=b\cdot k,c=d\cdot k</math>

<math>\frac{\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}=\frac{\lambda bk+\mu b}{\xi bk+\eta b}=\frac{\lambda k+\mu}{\xi k+\eta}</math>

<math>\frac{\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}=\frac{\lambda dk+\mu d}{\xi dk+\eta d}=\frac{\lambda k+\mu}{\xi k+\eta}</math>

<math>\therefore \frac{\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}=\frac{\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}</math>

证毕

===等比性质的线性组合推论一===

已知<math>a,b,c,d\in\mathbb{C}</math>，且有<math>b\neq0,d\neq0</math>，如果<math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>，则有<math>\frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>。

'''证明：'''

<math>\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>

令<math>k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>，则<math>a=b\cdot k,c=d\cdot k</math>

<math>\frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}=\frac{\lambda bk+\mu dk}{\lambda b+\mu d}=k</math>

<math>\therefore \frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>

证毕

===等比性质的线性组合推论二===

已知<math>a_i,b_i\in\mathbb{C},i=1,2,\ldots,n</math>，且有<math>b_i\neq0</math>，如果<math>\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}</math>，则有<math>\frac{\sum_i^n{\lambda_i a_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{a_i}{b_i}</math>。

'''证明：'''

令<math>k=\frac{a_i}{b_i}</math>，则<math>a_i=b_i\cdot k</math>

<math>\frac{\sum_i^n{\lambda_i a_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{\sum_i^n{\lambda_i kb_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{k\sum_i^n{\lambda_i b_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=k</math>

<math>\therefore \frac{\sum_i^n{\lambda_i a_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{a_i}{b_i}</math>

证毕

[[分类:代数]]