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{{noteTA
|G1=物理學
}}
在[[量子力學]]裏，表達[[粒子]]的[[量子態]]的[[波函數]]必須滿足'''歸一條件'''（'''歸一化'''，或'''規範化'''，{{lang-en|be normalized}}），也就是說，在空間內，找到粒子的[[機率]]必須等於 <math>1</math> 。這性質稱為'''歸一性'''。用[[數學]]公式表達，

:<math>\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*(x)\psi(x)\ dx=1</math> ;

其中，<math>x</math> 是粒子的位置，<math>\psi(x)</math> 是波函數。

== 歸一化導引 ==
一般而言，波函數 <math>\psi</math> 是一個[[複函數]]。可是，<math>\psi^* \psi =  \mid \psi  \mid ^2</math> 是一個[[實數|實函數]]，大於或等於 <math>0</math> ，稱為「機率密度函數」。所以，在區域 <math>[x,\ x+\Delta x]</math> 內，找到粒子的機率 <math>\Delta P</math> 是
:<math>\Delta P =\mid \psi  \mid ^2 \Delta x</math> ；<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span> 。

既然粒子存在於空間，機率是 <math>1</math> 。所以，積分於整個一維空間：

:<math>P= \int_{ - \infty}^{\infty} \mid \psi  \mid ^2 dx = 1 </math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span>

假若，從解析[[薛丁格方程]]而得到的波函數 <math>\psi</math> ，其機率 <math>P</math> 是有限的，但不等於 <math>1</math> ，則可以將波函數 <math>\psi</math> 乘以一個常數，使機率 <math>P</math> 等於 <math>1</math> 。或者，假若波函數內，已經有一個任意常數，可以設定這任意常數的值，使機率 <math>P</math> 等於 <math>1</math>。

== 實例 ==
在一維空間內，束縛於區域 <math>[0,\ \ell]</math> 內的一個粒子，其波函數是
:<math>\psi (x,\ t) = \begin{cases} Ae^{i(kx - \omega t)}, & 0\le x \le  \ell \\ 0, &  elsewhere \end{cases}</math> ；

其中，<math>k</math> 是[[波數]]，<math>\omega</math> 是[[角頻率]]，<math>A</math> 是任意常數。

計算能夠使波函數歸一化的常數值 <math>A</math> 。將波函數代入：
:<math> \mid \psi  \mid ^2 = A^2 e^{i(kx - \omega t)} e^{ - i(kx - \omega t)} =A^2  </math> 。

積分於整個粒子存在的區域：
:<math>\int_{0}^{\ell} A^2 dx= 1</math> 。

稍加運算，
:<math>A^2 \ell = 1 \qquad \Rightarrow \qquad A = \left ( \frac{1}{\sqrt{\ell}} \right )</math> 。

歸一化的波函數是：
:<math> \psi (x,t) = \begin{cases} \left ( \frac{1}{\sqrt{\ell}} \right )e^{i(kx - \omega t)}, & 0 \le x \le  \ell \\ 0, &  \text{elsewhere} \end{cases}</math> 。

== 薛丁格方程的形式不變 ==
薛丁格方程為 
:<math> \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi (x) = E \psi (x)</math>  ；

其中，<math>\hbar</math> 是[[約化普朗克常數]]，<math>V(x)</math> 是[[位勢]]，<math>E</math> 是[[能量]]。

將波函數 <math>\psi</math> 歸一化為 <math>\psi\,'=A\psi</math> 。則薛丁格方程成為
:<math> \frac{ - \hbar^2}{2m} A\frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) A \psi(x) = E A \psi(x)</math>  

:<math> \Rightarrow  A \left ( \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi(x) \right ) = A \left ( E \psi(x) \right )</math> 

:<math> \Rightarrow \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x)</math> 。

薛丁格方程的形式不變。對於歸一化，薛丁格方程是個[[不變量|不變式]]，因為薛丁格方程是個[[線性微分方程式]]。

一個表達粒子量子態的波函數，必須滿足粒子的薛丁格方程。既然 <math>\psi</math> 和 <math>\psi\,'</math> 都能夠滿足同樣的薛丁格方程，它們必定都表達同樣的量子態。假若不使用歸一化的波函數，則只能知道機率的相對大小；否則，使用歸一化的波函數，可以知道絕對的機率。這對於量子問題的解析，會提供許多便利。

== 歸一化恆定性 ==
給予一個歸一化的波函數．隨著時間的變化，波函數也會改變．假若，隨著時間改變的波函數不再滿足歸一條件，則勢必要重新將波函數歸一化．這樣，歸一常數 <math>A</math> 變得含時間．很幸運地，滿足薛丁格方程的波函數的歸一性是恆定的．設定波函數 <math>\psi(x,\ t)</math> 滿足薛丁格方程與歸一條件：
:<math> \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial  x^2} + V(x) \psi = i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}</math>  ，
:<math>P=\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*\psi\ dx=1</math> ；

假若，歸一性是恆定的，則機率 <math>P</math> 不含時間。為了顯示這一點，先計算 <math>\frac{dP}{dt}</math> ：
:<math>\frac{dP}{dt}=\frac{d}{dt}\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*(x,\ t)\psi(x,\ t)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial t}(\psi^*(x,\ t)\psi(x,\ t))\ dx</math> 。

展開被積函數
:<math>\frac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi)=\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\psi+\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial t}</math> 。

編排薛丁格方程，可以得到波函數 <math>\psi</math> 對於時間的偏導數：
:<math>\frac{\partial \psi}{\partial t}= \frac{ i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial  x^2} -  \frac{i}{\hbar}V(x) \psi </math> 。

共軛波函數 <math>\psi^*</math> 對於時間的偏導數為
:<math>\frac{\partial \psi^*}{\partial t}= \frac{ - i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial  x^2}+\frac{i}{\hbar}V(x) \psi^* </math> 。

將 <math>\psi</math> 與 <math>\psi^*</math> 代入被積函數
:<math>\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi) & = \left(\frac{ - i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial  x^2}+\frac{i}{\hbar}V(x) \psi^* \right)\psi+\psi^*\left(\frac{ i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial  x^2} -  \frac{i}{\hbar}V(x) \psi \right) \\ 
  & =\left(\frac{ - i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial  x^2} \right)\psi+\psi^*\left(\frac{ i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial  x^2} \right) \\
  & =\left(\frac{ i \hbar}{2m} \right)\frac{\partial}{\partial  x}\left(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial  x} -  \frac{\partial \psi^*}{\partial  x}\psi\right)\\ \end{align}</math><span style="vertical-align:bottom">。</span> 

代入 <math>\frac{dP}{dt}</math> 的方程式:
:<math>\frac{dP}{dt}=\left(\frac{ i \hbar}{2m} \right)\left[\left.\left(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial  x} - \frac{\partial \psi^*}{\partial  x}\psi\right)\right|_{\infty} - \left.\left(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial  x} -  \frac{\partial \psi^*}{\partial  x}\psi\right)\right|_{ - \infty}\right]</math> 。

可是，在 <math>x=\pm \infty</math> ，<math>\psi</math> 與 <math>\psi^*</math> 都等於 0 ．所以，
:<math>\frac{dP}{dt}=0</math> 。

機率 <math>P=1</math> 不含時間。波函數的歸一化是恆定的。

== 參考文獻 ==
* {{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |id=ISBN 0-13-111892-7|pages=pp. 12-14}}

== 參閱 ==
* [[正則變換#不變量|正則變換]]
* [[么正性]]

== 外部連結 ==
*[https://web.archive.org/web/20120207042727/http://cat.middlebury.edu/~chem/chemistry/class/physical/quantum/help/normalize/normalize.html Middlebury 大學講義：歸一化]

[[Category:量子力學|G]]

[[en:Normalizable wave function]]