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在[[範疇論]]中，'''正规態射'''是一類可以自然地分解成[[單射]]與[[滿射]]的[[態射]]。使所有態射皆為正规態射的範疇稱為'''正规範疇'''。

==定義==
設<math>\mathcal{C}</math>為一個有有限[[極限 (範疇論)|射影極限與歸納極限]]的[[範疇論|範疇]]。設<math>f: X \to Y</math>為態射。設<math>p_1, p_2: \; X \times_Y X \to X</math>為[[積 (範疇論)|積]]的投影，而<math>i_1,i_2: \; Y \to Y \sqcup_X Y</math>為[[上積]]的內射。定義：

* '''上像'''：<math>\mathrm{Coim}(f) := \mathrm{Coker}(p_1,p_2) </math>
* '''像'''：<math> \mathrm{Im}(f) := \mathrm{Ker}(i_1, i_2)</math>

根據[[極限 (範疇論)|極限]]性質，自然態射<math>X \to \mathrm{Coim}(f)</math>是[[滿射]]，而<math>\mathrm{Im}(f) \to Y</math>則是[[單射]]。此外還存在唯一一個態射<math>u: \;\mathrm{Coim}(f) \to \mathrm{Im}(f)</math>，使得合成態射
: <math>X \longrightarrow\mathrm{Coim}(f) \stackrel{u}{\longrightarrow} \mathrm{Im}(f) \longrightarrow Y</math>
正好是<math>f</math>。

若<math>u</math>為[[同構]]，則稱<math>f</math>為'''正规態射'''；正规態射可以寫成滿射與單射的合成。所有態射皆為正规態射的範疇稱為'''正规範疇'''。

==性質==
* 以下三個條件等價：
** <math>f</math>為嚴格''滿射''
** <math>\mathrm{Coim}(f) \to Y</math>為同構
** 序列<math>X \times_Y X \Rightarrow X \rightarrow Y</math>正合
* 如果<math>f</math>同時是嚴格滿射與嚴格單射，則<math>f</math>為同構。
* <math>X \to \mathrm{Coim}(f)</math>恆為嚴格滿射。

==例子==
正规態射的重要特性在於它分解為滿射與單射，此分解在[[阿貝爾範疇]]中扮演關鍵角色。

對於[[集合範疇]]、[[群]]範疇以及一個[[环 (代数)|環]]上的[[模]]範疇，嚴格性並不成問題。一旦引入額外結構，狀況將大大地複雜化：例如取<math>\mathcal{C}</math>為[[拓撲向量空間]]範疇，<math>\mathcal{C}</math>中存在所有有限的積與上積。<math>\mathcal{C}</math>中的態射<math>f: X \to Y</math>即[[連續線性算子|連續線性映射]]，其像<math>\mathrm{Im}(f)</math>是空間<math>f(X)</math>配與<math>Y</math>的子空間拓撲，上像<math>\mathrm{Coim}(f)</math>則是<math>f(X)</math>配與<math>f: X \to f(X)</math>的[[商拓撲]]；後者一般較前者為細。

==文獻==
* Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, ''Categories and Sheaves'', Springer. ISBN 3540279490

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20070402075309/http://www.institut.math.jussieu.fr/~schapira/polycopies/Sta.pdf Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira] 

[[Category:态射]]