查看“︁正定矩阵”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{No footnotes |time=2019-12-15}}
{{线性代数}}
在[[线性代数]]裡，'''正定矩阵'''（{{lang-en|'''positive-definite matrix'''}}）是[[埃尔米特矩阵]]的一种，有时会简称为'''正定阵'''。在[[线性代数]]中，正定矩阵的性质類似[[複數 (數學)|复数]]中的[[正数|正]][[实数]]。与正定矩阵相对应的[[线性算子]]是[[对称双线性形式|对称]][[确定双线性形式|正定双线性形式]]（複域中则对应[[埃尔米特矩阵|埃尔米特]][[确定双线性形式|正定双线性形式]]）。

== 定义==
一个 <math>n\times n</math> 的实[[對稱矩陣|对称矩阵]] <math>M</math> 是'''正定'''的，[[当且仅当]]对于所有的非零实系数[[向量]] <math>\mathbf{z}</math>，都有 <math>\mathbf{z}^T M\mathbf{z} >0</math>。其中 <math>\mathbf{z}^T</math>表示 ''<math>\mathbf{z}</math>'' 的[[转置矩阵|转置]]。对于[[複數 (數學)|复数]]的情况，定义则为：一个 <math>n\times n</math> 的[[埃尔米特矩阵]] '''<math>M</math>''' 是正定的若且唯若对于每个非零的複向量 <math>\mathbf{z}</math>，都有 <math>\mathbf{z}^* M\mathbf{z} >0</math>。其中 ''<math>\mathbf{z}^*</math>''表示 <math>\mathbf{z}</math> 的[[共轭转置]]。


這樣的定義仰賴一個事實：对于任意的埃爾米特矩陣 <math>M</math> 及複向量 ''<math>\mathbf{z}</math>'' ，<math>\mathbf{z}^* M\mathbf{z}</math> 必定是实数。
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首先，因為 <math>M</math> 是埃爾米特矩陣，所以我們有 <math>M^* = M</math>。接下來我們計算所求的[[共轭转置]]：<math>(\mathbf{z}^* M \mathbf{z})^* = \mathbf{z}^* M^* (\mathbf{z}^*)^* = \mathbf{z}^* M \mathbf{z}</math>。因為 <math>\mathbf{z}^* M\mathbf{z}</math> 是純量且其共軛複數等於自身，所以根據複數的性質，我們得出 <math>\mathbf{z}^* M\mathbf{z}</math> 是實數。
</div>

== 正定矩陣 ==
对於 <math>n\times n</math> 的[[埃尔米特矩阵]] <math>M</math>，下列性质与「<math>M</math> 为正定矩阵」等价：

# <math>M</math> 的所有的[[特征值]] <math>\lambda_i</math> 都是正的。<div class="mw-collapsible mw-collapsed"> 根据[[谱定理]]，<math>M</math> 与一个实[[对角矩阵]] ''<math>D</math>'' [[相似矩陣|相似]]（也就是说 <math>M = U^{-1}DU </math>，其中 ''<math>U</math>'' 是[[酉矩阵]]，或者说 <math>M</math> 在某个[[正交基]]可以表示为一个实[[对角矩阵]]）。因此，<math>M</math>是正定阵当且仅当相应的 ''<math>D</math>'' 的对角线上元素都是正的。  另外，也可以假設 <math>\lambda_i</math> 和 ''<math>\mathbf{v}_i</math>'' 是 <math>M</math> 的一組特徵值與特徵向量，根據定義 '''<math>M\mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i</math>'''，從左側同乘以 '''<math>\mathbf{v}_i^*</math> '''得到：'''<math>\mathbf{v}_i^* M\mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i^* \mathbf{v}_i = \lambda_i \Vert \mathbf{v}_i \Vert ^2</math>'''。因為 <math>M</math> 是正定矩陣，根據定義我們有 <math>\mathbf{v}_i^* M\mathbf{v} >0</math>。移項整理後可以得到 <math>\lambda_i = \frac{\mathbf{v}^* M\mathbf{v}}{\Vert\mathbf{v}_i\Vert^2} >0</math>。注意因為特徵向量 ''<math>\mathbf{v}_i \neq \mathbf{0}</math>''，所以前述 <math>\lambda_i</math> 不會有無解的情形。 </div>
# [[半双线性形式]] <math>\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}</math> 定义了一个 '''<math>\mathbb{C}^n</math>'''上的[[点积|内积]]。实际上，所有 '''<math>\mathbb{C}^n</math>'''上的内积都可視為由某个正定矩阵通过此种方式得到。
# '''<math>M</math>''' 是向量 <math>\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k</math> 構成的[[格拉姆矩阵]]，其中 '''''<math>k\in\mathbb{Z}^+</math>'''''。更精确地说，'''<math>M=[m_{ij}]</math>''' 定义为：<math>m_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{*} \textbf{x}_j </math>。换句话说，'''<math>M</math>''' 具有 <math>A^*A</math> 的形式，其中 ''<math>A</math>'' 不一定是方阵，但必須是单射的。
#  '''<math>M</math>''' 的所有[[子式和余子式#应用|顺序主子式]]，也就是[[顺序主子阵]]的[[行列式]]都是正的（{{le|西尔维斯特准则|Sylvester's criterion}}）。明确地说，就是考察 '''<math>M</math>''' 左上角大小 '''<math>1\times 1,\ldots,n\times n</math>''' 的子矩阵的行列式。对于半正定矩阵而言，相应的条件应改为所有的主子式非负。但顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：  '''<math display="block">\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}</math>'''
# 存在唯一的[[下三角矩阵]] <math>L</math>，其主对角线上的元素全是正的，使得 <math>M=L L^*</math>。其中 <math>L^*</math>是 <math>L</math> 的[[共轭转置]]。这一分解被称为[[科列斯基分解]]。
对于实[[對稱矩陣|对称矩阵]]，只需将上述性质中的 <math>\mathbb{C}^n</math>改为 <math>\mathbb{R}^n</math>，並将「共轭转置」改为「转置」即可。

===二次型===
由以上的第二个等价条件，可以得到[[二次型]]形式下正定矩阵的等价条件：用 <math>\mathbb{K}</math> 代表 <math>\mathbb{C}</math> 或 <math>\mathbb{R}</math>，设 <math>\mathbb{V}</math> 是 <math>\mathbb{K}</math> 上的一个[[向量空间]]。一个[[埃尔米特型]]：
:<math>B : V \times V \rightarrow K</math>

是一个[[双线性映射]]，使得 <math>B(\mathbf{x},\mathbf{y})</math> 总是 <math>B(\mathbf{y},\mathbf{x})</math> 的[[共轭]]。这样的一个映射 ''<math>B</math>'' 是'''正定'''的若且唯若對於 <math>\mathbb{V}</math> 中所有的非零向量 ''<math>\mathbf{x}</math>''，都有 <math>B(\mathbf{x},\mathbf{x}) >0</math>。

==负定、半定及不定矩阵==
与正定矩阵对应，一个 <math>n\times n</math> 的埃尔米特矩阵 <math>M</math> 是'''负定矩阵'''（{{lang-en|'''negative-definite matrix'''}}）若且唯若对所有非零向量 <math>\mathbf{z} \in \mathbb{R}^n</math>（或 <math>\mathbf{z} \in \mathbb{C}^n</math>），都有 <math>z^{*} M z < 0\,</math>。

<math>M</math>是'''半正定矩阵'''（{{lang-en|'''positive semi-definite matrix'''}}）若且唯若對於所有非零向量 <math>\mathbf{z} \in \mathbb{R}^n</math>（或 <math>\mathbf{z} \in \mathbb{C}^n</math>），都有 <math>z^{*} M z \geq 0</math>。

<math>M</math>是'''半负定矩阵'''（{{lang-en|'''negative semi-definite matrix'''}}）若且唯若對於所有非零向量 <math>\mathbf{z} \in \mathbb{R}^n</math>（或 <math>\mathbf{z} \in \mathbb{C}^n</math>），都有 <math>z^{*} M z \leq 0</math>。

如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为'''不定矩阵'''（{{lang-en|'''indefinite matrix'''}}）。

可以看出，上一节中正定矩陣的第一個等价性质只需作出相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当 '''<math>M</math>''' 是半正定时，相应的[[格拉姆矩阵]]不必由线性獨立的向量组成。对於任意矩阵 <math>A</math>，<math>A^*A</math>必是半正定的，并有 <math>\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^*A)</math>（两者的[[矩阵的秩|秩]]相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作 <math>M=A^*A</math>，这就是[[科列斯基分解]]。
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
对於任意矩阵 <math>A</math>，因為 <math>(A^*A)^*=A^*(A^*)^*=A^*A</math> ，因此 <math>A^*A</math> 是埃爾米特矩陣。令 <math>\mathbf{v}\in\mathbb{C}^n</math>，則 <math>\mathbf{v}^* (A^*A) \mathbf{v} = (\mathbf{v}^*A^*)(A\mathbf{v})=(A\mathbf{v})^*(A\mathbf{v})=\Vert A\mathbf{v}\Vert^2 \geq 0</math>，因此 <math>A^*A</math> 是半正定的。另外，我們很容易證明 <math>A</math> 與 <math>A^*A</math> 有相同的[[零空间|零空間]]，根據[[秩－零化度定理|秩 – 零化度定理]]，我們可以得到它們有相同的秩。
</div>

一个埃尔米特矩阵 '''''<math>M</math>''''' 是负定矩阵若且唯若 '''<math>M</math>''' 的所有奇数阶顺序主子式小于 <math>0</math>，所有偶数阶顺序主子式大于 <math>0</math>。当 '''<math>M</math>''' 是负定矩阵时，'''<math>M</math>''' 的逆矩阵也是负定的。

==相关性质==
若 <math> M </math> 为半正定矩阵，可以記作 <math> M \geq 0 </math>。如果<math> M </math>是正定矩阵，可以記作 <math> M > 0 </math>。这个记法来自[[泛函分析]]，其中的正定矩阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵，<math>M</math>、<math>N</math>，<math> M\geq N </math> 若且唯若 <math> M-N \geq 0 </math>。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的[[偏序关系]]。类似地，可以定义<math>M>N</math>。

{| cellspacing="0" cellpadding="2"
|-
|valign="top"| '''1.''' ||每个正定阵都是[[可逆矩阵|可逆的]]，它的逆也是正定阵。如果 <math> M \geq N > 0 </math> 那么 <math> N^{-1} \geq M^{-1} > 0</math>。
|-
|valign="top"| '''2.''' || 如果 <math>M</math> 是正定阵，<math>r > 0</math> 为正实数，那么 <math>r M</math> 也是正定阵。

如果 <math>M</math>、<math>N</math> 是正定阵，那么 <math>M + N</math>、<math>MNM</math> 与 <math>NMN</math> 都是正定的。如果 <math>M N = N M</math>，那么 <math>M N</math> 仍是正定阵。

|-
|valign="top"| '''3.''' || 如果 <math> M=(m_{ij}) > 0 </math> 那么主对角线上的元素 <math> m_{ii} </math> 为正实数。于是有 <math> \text{tr}(M)>0 </math>。此外还有
:<math>  | m_{ij} | \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2} </math> 。 

|-
|valign="top"| '''4.''' ||矩阵 <math> M </math> 是正定阵若且唯若存在唯一的正定阵 <math> B>0 </math> 使得 <math> B^2 = M </math>。根据其唯一性可以记作 <math> B = M^{1/2} </math>，称 <math> B</math> 为 <math> M </math> 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果 <math> M > N > 0 </math> 那么 <math> M^{1/2} > N^{1/2}>0 </math> 。 

|-
|valign="top"| '''5.''' || 如果 <math> M,N > 0 </math> 那么 <math> M\otimes N > 0 </math>，其中 <math>\otimes</math> 表示[[克罗内克积|克羅內克積]]。

|-
|valign="top"| '''6.''' ||对矩阵 <math> M=(m_{ij}),\ N=(n_{ij}) </math>，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为 <math> M\circ N </math>，即 <math>(M\circ N)_{i,j}=m_{ij} n_{ij} </math>，称为<math> M </math>与<math> N </math>的 [[阿達瑪乘積_(矩陣)|阿达马乘积]]。如果 <math> M,N>0 </math>，那么 <math> M\circ N > 0 </math>。如果 <math> M,N </math> 为'''实係数矩阵'''，则以下不等式成立：

<math> \det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii} </math> 。 

|-
|valign="top"| '''7.''' || 设 <math> M > 0 </math>，<math> N </math> 为埃尔米特矩阵。如果 <math> MN+NM \geq 0 </math>（相應地，<math> MN+NM > 0 </math>），那么 <math> N\geq 0 </math>（相應地，<math> N > 0</math>）。

|-
|valign="top"| '''8.''' ||如果 <math> M,N\geq 0</math> 为实系数矩阵，则 <math> \text{tr}(MN)\geq 0</math>。

|-
|valign="top"| '''9.''' ||如果 <math> M>0</math> 为实系数矩阵，那么存在 <math> \delta>0 </math> 使得 <math> M\geq \delta I</math>，其中 <math> I </math> 为[[单位矩阵]]。
|}

==非埃尔米特矩阵的情况==
一个实矩阵 '''<math> M </math>''' 可能满足對於所有的非零实向量 ''<math> \mathbf{x} </math>''，<math> \mathbf{x}^T M\mathbf{x} >0 </math>，卻不是对称矩阵。举例来说，矩阵
:<math> \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} </math>就满足这个条件。对於 <math> \mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} </math> 并且 <math> \mathbf{x}\neq\mathbf{0} </math>，<math> \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1^2 + x_2^2 > 0 </math>。


一般来说，一个实系数矩阵 '''<math> M </math>''' 满足对所有非零实向量 ''<math> \mathbf{x} </math>''，<math> \mathbf{x}^T M\mathbf{x} >0 </math>，若且唯若对称矩阵 <math> (M+M^T)/2 </math> 是正定矩阵。

对于复系数矩阵，情况可能會不太一样。主要考慮如何扩展 ''<math> \mathbf{z}^* M\mathbf{z} >0 </math>'' 这一性质。要使得 ''<math> \mathbf{z}^* M\mathbf{z} </math>'' 总为实数，矩阵 '''<math> M </math>''' 必须是埃尔米特矩阵。因此，若 ''<math> \mathbf{z}^* M\mathbf{z} </math>'' 总是正实数，'''<math> M </math>''' 必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将 ''<math> \mathbf{z}^* M\mathbf{z} >0 </math>'' 扩展为 ''<math> \Re(\mathbf{z}^* M\mathbf{z}) >0 </math>''，则等价于 <math> (M+M^*)/2 </math> 为正定矩阵。

==参见==
* [[确定双线性形式]]
* [[矩阵的平方根]]
* [[舒尔补]]
* {{le|正定核|Positive-definite kernel}}
* [[正定函数]]
* [[科列斯基分解]]
* [[线性矩阵不等式]]
* [[合同矩阵]]

== 参考资料 ==
{{Reflist}}
* Roger A. Horn and Charles R. Johnson. ''Matrix Analysis,'' Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
* Rajendra Bhatia. ''Positive definite matrices,''. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20080802023020/http://math.ecnu.edu.cn/jpkc/gdyjj/xsxz/ZhangGengYun.htm 正定矩阵]
* [https://web.archive.org/web/20070320231013/http://maths.snnu.edu.cn/down/mb.doc 关于对称矩阵的一些讨论]

{{DEFAULTSORT:positive-definite matrix}}
[[Category:线性代数]]
[[Category:多重线性代数]]
[[Category:矩阵]]