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{{about|和正定矩陣有關的正定函數|其他的正定函數|正定函數 (實值連續可微函數)}}
在數學上，複值域函數的'''正定函數'''是和[[正定矩陣]]有關的特質。

令<math>\mathbb{R}</math>是[[實數]]集合，<math>\mathbb{C}</math>為[[複數 (數學)|複數]]集合。

函數<math> f: \mathbb{R} \to \mathbb{C} </math>稱為'''半正定'''，若針對所有實數''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>， ''n''&thinsp;×&thinsp;''n'' [[矩陣]]

:<math> A = \left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^n~, \quad a_{ij} = f(x_i - x_j) </math>

都是[[正定矩陣|半正定矩陣]]{{citation needed|date=2024年1月}}。

依照定義，半正定矩陣（像是<math>A</math>）會是[[埃尔米特矩阵]]，因此''f''(−''x'')是''f''(''x''))的[[共轭复数]]。

若上述矩陣改為正定矩陣、半負定矩陣及負定矩陣，則函數則為'''正定函數'''、'''半負定函數'''及'''負定函數'''。

==舉例==
若<math>(X, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math>是實[[内积空间]]，則<math>g_y \colon X \to \mathbb{C}</math>, <math>x \mapsto \exp(i \langle y, x \rangle)</math>對於每一個<math>y \in X</math>是正定：針對所有<math>u \in \mathbb{C}^n</math>，以及所有<math>x_1, \ldots, x_n</math>，可得
:<math>
u^* A^{(g_y)} u
= \sum_{j, k = 1}^{n} \overline{u_k} u_j e^{i \langle y, x_k - x_j \rangle}
= \sum_{k = 1}^{n} \overline{u_k} e^{i \langle y, x_k \rangle} \sum_{j = 1}^{n} u_j e^{- i \langle y, x_j \rangle}
= \left| \sum_{j = 1}^{n} \overline{u_j} e^{i \langle y, x_j \rangle} \right|^2
\ge 0.
</math>
正定函數的非負線性組合也是正定函數，像是[[正弦和余弦|余弦函數]]是上述函數的非負線性組合，因此是正定的：
:<math>
\cos(x) = \frac{1}{2} ( e^{i x} + e^{- i x}) = \frac{1}{2}(g_{1} + g_{-1}).
</math>

若有正定函數<math>f \colon \R \to \mathbb C</math>，以及[[向量空间]]<math>X</math>，可以建立正定函數<math>f \colon X \to \mathbb{C}</math>：選擇{{link-en|線性函數|linear function}} <math>\phi \colon X \to \R</math>，並且定義<math>f^* := f \circ \phi</math>.
則
:<math>
u^* A^{(f^*)} u
= \sum_{j, k = 1}^{n} \overline{u_k} u_j f^*(x_k - x_j) 
= \sum_{j, k = 1}^{n} \overline{u_k} u_j f(\phi(x_k) - \phi(x_j)) 
= u^* \tilde{A}^{(f)} u
\ge 0,
</math>
其中<math>\tilde{A}^{(f)} = \big( f(\phi(x_i) - \phi(x_j)) = f(\tilde{x}_i - \tilde{x}_j) \big)_{i, j}</math>，而在<math>\phi</math>[[線性關係|線性]]時，每一個<math>\tilde{x}_k := \phi(x_k)</math>都是不同的<ref>{{cite book |last1=Cheney |first1=Elliot Ward |title=A course in Approximation Theory |date=2009 |publisher=American Mathematical Society |isbn=9780821847985 |pages=77–78 |url=https://books.google.com/books?id=II6DAwAAQBAJ |access-date=3 February 2022}}</ref>。

==Bochner定理==
{{main|{{le|Bochner定理|Bochner's theorem}}}}

正定函數也出現在[[傅里叶变换]]的理論中，可以看出一個函數''f''正定就是可以成為在函數''g''（且''g''(''y'') ≥ 0）在實數線上傅里叶变换的充份條件。

反過來的結果就是{{link-en|Bochner定理|Bochner's theorem}}，提到在實數線上的[[连续函数|连续]]正定函數是正[[测度]]的傅里叶变换<ref>{{cite book | last=Bochner | first=Salomon | authorlink=Salomon Bochner | title=Lectures on Fourier integrals | url=https://archive.org/details/lecturesonfourie0000boch | url-access=registration | publisher=Princeton University Press | year=1959}}</ref>。

===應用===
在[[统计学]]（特別是[[贝叶斯统计]]）裡，此定理常用在實函數中，一般來說，會在<math>R^d</math>裡選幾個點，針對其純量值進行''n''個純量的量測，若要量測結果有高度相關性，這些點需要互相靠近。實際上，必須小心確保所得的共變異數矩陣（{{nowrap|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}}矩陣）恆為正定矩陣。有一個作法是定義一個相關矩陣，再乘以純量，得到协方差矩阵，所得的一定是正定矩陣。Bochner定理表示，若二個點的相關係數只會隨其距離而變化（也就是距離的函數''f''），則函數''f''一定會是正定函數，以確保共變異數矩陣''A''是正定的。

在此context下，一般不會用傅里叶变换，而是稱''f''(''x'')是[[對稱]][[機率密度函數]]（PDF）的[[特征函数 (概率论)|特征函数]]。

==擴展==
{{main|{{link-en|群上的正定函數|Positive-definite function on a group}}}}

可以在[[龐特里亞金對偶性|局部緊阿貝爾拓樸群]]定義正定函數，Bochner定理可以擴展到此context。群上的正定函數會出自然的出現在[[希尔伯特空间]]上群的[[表示论]]裡（也就是{{le|酉表示|unitary representation}}的理論）。
==参见==
*[[正定 (消歧義)|正定 (消歧義)#數學]]
*{{link-en|正定核|Positive-definite kernel}}

==腳註==
<references/>
==參考==
* Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. ''Harmonic Analysis on Semigroups'', GTM, Springer Verlag. 
* Z. Sasvári, ''Positive Definite and Definitizable Functions'', Akademie Verlag, 1994
* Wells, J. H.; Williams, L. R. ''Embeddings and extensions in analysis''. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg,  1975. vii+108 pp.
==外部連結==
[[Category:函数]]