查看“︁正割”︁的源代码

{{expand|time=2012-10-14T02:06:34+00:00}}
{{函數
|name =正割
|image =Sec.svg

|heading1 =1
|parity =偶
|domain =  <math>\left\{x\in\mathbb{R}|x\neq k\pi+\tfrac{\pi}{2},\,k\in\mathbb{Z}\right\}</math><br/><math>\left\{x\in\mathbb{R}|x\neq 180^\circ k+90^\circ,\,k\in\mathbb{Z}\right\}</math>
|codomain = <math>\left|\sec x\right| \geq 1</math>
|period = <math>2\pi</math><br/>（360°）

|heading2 = 1
|zero = 1
|plusinf = N/A
|minusinf = N/A
|max = +∞
|min = -∞
|vr1 =
|f1 =
|vr2 =
|f2 =
|vr3 =
|f3 =
|vr4 =
|f4 =
|vr5 =
|f5 =

|heading3 = 1
|asymptote = <math>x=\left( 2k+1\right)\tfrac{\pi}{2}</math><br/>（{{math|1=x=180°''k''+90°}}）
|root = 無實根
|critical = <math>k\pi</math><br/>（{{math|180°''k''}}）
|inflection = 
|fixed = 當x軸為弧度時：<br/>-2.07393280909121...<ref group="註">{{Cite WolframAlpha|title=FindRoot[Sec[x] == x, {x, -2}, WorkingPrecision -> 15]|accessdate=2022-05-19}}</ref><br/>（-118.827596954637699...°）<br/>-4.487669603341...<ref group="註">{{Cite WolframAlpha|title=FindRoot[Sec[x] == x, {x, -4}, WorkingPrecision -> 15]|accessdate=2022-05-19}}</ref><br/>（-257.12452812059255...°）<br/>4.9171859252871...<ref group="註">{{Cite WolframAlpha|title=FindRoot[Sec[x] == x, {x, 5}, WorkingPrecision -> 15]|accessdate=2022-05-19}}</ref><br/>（281.734000600083215...°）<br/>7.72415319239641...<ref group="註">{{Cite WolframAlpha|title=FindRoot[Sec[x] == x, {x, 7}, WorkingPrecision -> 15]|accessdate=2022-05-19}}</ref><br/>（442.5613782368157...°）<br/>...<br/>
當x軸為角度時：<br/>-90.6321919494646472...°<br/>-269.787625875998245...°<br/>89.358798727133722...°<br/>270.212040552238203...°<br/>
|notes =k是一個[[整數]]。
}}
'''正割'''（Secant，<math>\sec</math>）是[[三角函数]]的一种。它的[[定义域]]是不含<math>k\pi+\tfrac{\pi}{2}</math>（或{{math|180°''k''+90°}}，其中<math>k</math>為整數）的整个[[实数集]]，[[值域]]是[[絕對值]][[大於等于]][[一]]的[[实数]]。它是[[周期函数]]，其最小正[[周期]]为<math>2 \pi</math>（360°）。

'''正割'''是[[三角函数]]的正函數（[[正弦]]、[[正切]]、'''正割'''、[[正矢]]）之一，所以在<math>2k \pi</math>（{{math|360°''k''}}）到<math>2 k \pi + \frac{\pi}{2}</math>（{{math|360°''k''+90°}}）的區間之間，函數是[[遞增]]的，另外'''正割'''函数和[[餘弦]]函数互為[[倒數]]。

在[[單位圓]]上，正割函数位於[[割線]]上，因此將此函數命名為正割函数。

和其他[[三角函數]]一樣，正割函数一樣可以擴展到[[复数 (数学)|複數]]。

==符号史==
正割的数学符号为<math>\sec</math>，出自英文secant。该符号最早由数学家[[吉拉德·笛沙格]]在他的著作《三角学》中所用。

==定义==

=== 直角三角形中 ===
[[File:Rtriangle.svg|left|thumb|200px|直角三角形，<math>\angle C</math>為直角，<math>\angle A</math>的角度為 <math> \theta </math>， 對於<math>\angle A</math>而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊]]
在[[直角三角形]]中，一个锐角<math>\angle A</math>的'''正割'''定义为它的斜邊与鄰邊的[[比值]]，也就是：

:<math> \sec \theta = \frac {\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\,\!</math>

可以發現其定義和[[餘弦函數]]互為[[倒數]]。

===直角坐标系中===
设<math>\alpha</math>是平面直角坐标系xOy中的一个[[象限角]]，<math>P\left( {x,y} \right)</math>是角的终边上一点，<math>r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0</math>是P到原点O的[[距离]]，则<math>\alpha</math>的正割定义为：

:<math>\sec \alpha = \frac{r}{x}\,\!</math>
{{clear}}

===单位圆定义===
[[File:Unit_circle_angles.svg|300px|thumb|[[单位圆]]]]

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。[[逆时针方向]]的度量是正角而[[顺时针]]的度量是负角。设一个过[[原点]]的[[线]]，同''x''轴正半部分得到一个角<math>\theta</math>，并与单位圆[[相交]]。这个交点的''y''坐标等于<math>\sin \theta</math>。在这个图形中的[[三角形]]确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了<math>\sec \theta =\frac{1}{x}</math>。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。
{{clear}}
对于大于<math>2\pi</math>（360°）或小于<math>-2\pi</math>（-360°）的[[角度]]，简单的继续绕[[单位圆]][[旋转]]。在这种方式下，正割变成了周期为<math>2\pi</math>（360°）的[[周期函数]]：

:<math>\sec\theta = \sec\left(\theta + 2\pi k \right) = \sec\left(\theta + 360^\circ k \right)</math>

对于任何角度<math>\theta</math>和任何[[整数]]<math>k</math>。

=== 與其他函數定義 ===
[[正割函數]]和[[餘弦函數]]互為[[倒數]]

即：<ref>{{cite mathworld|urlname=Secant}}</ref>
:<math>\sec x = \frac{1}{\cos x}</math>

=== 級數定義 ===
正割也能使用泰勒級數來定義：
:<math>\sec x = 1+\frac{x^2}{2}+\frac{5 x^4}{24}+\frac{61 x^6}{720}+\frac{277 x^8}{8064}+\frac{50521 x^{10}}{3628800}+...=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{E_n}{(2n)!} x^{2n}.</math>

其中<math>E_n</math>为[[欧拉数]]。

另外，我们也有
:<math>\sec x =4\pi\sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^n(1-2n)}{(2n\pi-\pi)^2-4x^2}=4\pi \sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n(1+2n)}{(\pi+2n\pi)^2-4x^2}.</math>

=== 微分方程定義 ===

:<math>\sec 'x\ = \sec x\tan x</math>

:<math>\sec x =\left( \ln \left |\sec x + \tan x\right | \right) '</math>

=== 指數定義 ===
<math>\sec \theta = \frac{2}{e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,</math>

== 恆等式 ==
=== 用其它三角函数来表示正割 ===

{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
! 函數
!<math>\sin</math>
!<math>\cos</math>
!<math>\tan</math>
!<math>\cot</math>
!<math>\sec</math>
!<math>\csc</math>
|-
! <math>\sec \theta </math>
| <math> {1 \over \sqrt{1 - \sin^2\theta}} </math>
| <math> {1 \over \cos \theta} </math>
| <math> \sqrt{1 + \tan^2\theta} </math>
| <math> {\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta} </math>
| <math>\sec\theta\ </math>
| <math> {\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}} </math>
|}
=== 和差角公式 ===
:<math>\sec(\theta\pm\psi)=\frac{\sec\theta\sec\psi} {1\mp\tan\theta\tan\psi}
</math>

== 巴罗的正割積分 ==
[[艾萨克·巴罗]]在1670年提出正割的積分
:<math>\int_0^{\phi}\sec t \, dt = \ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}\right)</math>

== 註釋 ==
<references group="註" />

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

== 參見 ==
{{commonscat|secant function}}
{{Portal|数学}}
* [[正弦]]
* [[餘弦]]
* [[正切]]
* [[餘切]]
* [[餘割]]
* [[三角学]]
* [[三角函数]]
* [[函數]]
* [[正弦波]]

{{-}}
{{三角函數}}

[[Category:三角学|Z]]
[[Category:函数|Z]]
[[Category:三角函数]]

[[no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens]]