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{{noteTA|G1=物理學}}
在[[哈密頓力學]]裏，當計算[[正則變換]]時，'''生成函數'''扮演的角色，好似在兩組[[正則坐標]] <math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p})</math> ，<math>(\mathbf{Q},\ \mathbf{P})</math> 之間的一座橋。為了要保證正則變換的正確性 ，採取一種間接的方法，稱為'''生成函數方法'''。這兩組變數必須符合方程式
:<math>\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}=\mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}+\frac{dG}{dt}</math> ；<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span>

其中，<math>\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)</math> 是舊[[廣義坐標]]，<math>\mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N)</math> 是舊[[廣義動量]]，<math>\mathbf{Q}=(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N)</math> 是新廣義坐標，<math>\mathbf{P}=(P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N)</math> 是新廣義動量，<math>\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t),\ \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)</math> 分別為舊[[哈密頓量]]與新哈密頓量，<math>G(-,\ -,\ t)</math> 是'''生成函數'''，<math>t</math> 是時間。

生成函數 <math>G</math> 的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種不同的變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 <math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})</math> 保證是正則變換。

==生成函數列表==
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
! style="background:#ffdead;" | 生成函數
! style="background:#ffdead;" | 導數
|-
|<math>G= G_1(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)</math>
|<math>\mathbf{p}=~~\frac{\partial G_1}{\partial \mathbf{q}}\ ,\qquad \mathbf{P}= - \frac{\partial G_1}{\partial \mathbf{Q}} </math>
|-
|<math>G= G_2(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) - \mathbf{Q}\mathbf{P}</math>
|<math>\mathbf{p}=~~\frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{q}}\ ,\qquad \mathbf{Q}=~~ \frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{P}} </math>
|-
|<math>G= G_3(\mathbf{p},\ \mathbf{Q},\ t) + \mathbf{q}\mathbf{p}</math>
|<math>\mathbf{q}= - \frac{\partial G_3}{\partial \mathbf{p}}\ ,\qquad \mathbf{P}= - \frac{\partial G_3}{\partial \mathbf{Q}} </math>
|-
|<math>G= G_4(\mathbf{p},\ \mathbf{P},\ t) + \mathbf{q}\mathbf{p} - \mathbf{Q}\mathbf{P}</math>
|<math>\mathbf{q}= - \frac{\partial G_4}{\partial \mathbf{p}}\ ,\qquad \mathbf{Q}=~~\frac{\partial G_4}{\partial \mathbf{P}} </math>
|}

==第一型生成函數==
第一型生成函數 <math>G_{1}</math> 只跟舊[[廣義坐標]]、新廣義坐標有關，
:<math>G=G_{1}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)</math> 。

代入方程式 (1) 。展開生成函數對於時間的[[全導數]]，
:<math>\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}}  - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) =  
\mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{1}}{\partial t} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} \cdot \dot{\mathbf{Q}}</math> 。

新廣義坐標 <math>\mathbf{Q}</math> 和舊廣義坐標 <math>\mathbf{q}</math> 都是自變量，其對於時間的全導數 <math>\dot{\mathbf{Q}}</math> 和 <math>\dot{\mathbf{q}}</math> 互相無關，所以，以下 <math>2N+1</math> 個方程式都必須成立：
:<math>\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}}</math> ，<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span>
:<math>\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}}</math> ，<span style="position:absolute;right:15%">(3)</span>
:<math>\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{1}}{\partial t}</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(4)</span>

這 <math>2N+1</math> 個方程式設定了變換 <math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})</math> ，步驟如下：

第一組的 <math>N</math> 個方程式 (2) ，設定了 <math>\mathbf{p}</math> 的 <math>N</math> 個函數方程式
:<math>\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)</math> 。
在理想情況下，這些方程式可以逆算出 <math>\mathbf{Q}</math> 的 <math>N</math> 個函數方程式
:<math>\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(5)</span>

第二組的 <math>N</math> 個方程式 (3) ，設定了 <math>\mathbf{P}</math> 的 <math>N</math> 個函數方程式
:<math>\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)</math> 。

代入函數方程式 (5) ，可以算出 <math>\mathbf{P}</math> 的 <math>N</math> 個函數方程式
:<math>\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(6)</span>

從 <math>2N</math> 個函數方程式 (5) 、(6) ，可以逆算出 <math>2N</math> 個函數方程式
:<math>\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)</math> ，
:<math>\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)</math> 。

代入新哈密頓量 <math>\mathcal{K}</math> 的方程式 (4) ，可以得到
:<math>\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)</math> 。

==第二型生成函數==
第二型生成函數 <math>G_{2}</math> 只跟舊廣義坐標 <math>\mathbf{q}</math> 、新[[廣義動量]] <math>\mathbf{P}</math> 有關 ：
:<math>G \equiv - \mathbf{Q}\cdot\mathbf{P}+G_{2}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)
</math> ；

代入方程式 (1) 。展開生成函數隨時間的全導數：
:<math>\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}}  - \mathcal{H}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) =  
-\mathbf{Q} \cdot \dot{\mathbf{P}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{2}}{\partial t} + \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} \cdot \dot{\mathbf{P}} </math> 。

由於舊廣義坐標 <math>\mathbf{q}</math> 與新廣義動量 <math>\mathbf{P}</math> 必須彼此無關，以下 <math>2N+1</math> 方程式必須成立：
:<math>\mathbf{p} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}}</math> ，<span style="position:absolute;right:15%">(7)</span>　
:<math>\mathbf{Q} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}}</math> ，<span style="position:absolute;right:15%">(8)</span>
:<math>\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{2}}{\partial t}</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(9)</span>

這 <math>2N+1</math> 個方程式設定了變換 <math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})</math> 。步驟如下：

第一組的 <math>N</math> 個方程式 (7) ，設定了 <math>\mathbf{p}</math> 的函數方程式
:<math>\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)</math> 。
在理想情況下，這些方程式可以逆算出 <math>\mathbf{P}</math> 的函數方程式
:<math>\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(10)</span>

第二組的 <math>N</math> 個方程式 (8) ，設定了的函數方程式
:<math>\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)</math> 。

代入函數方程式 (10) ，可以算出 <math>\mathbf{Q}</math> 函數方程式
:<math>\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(11)</span>

由函數方程式 (10) 、(11) ，可以算出函數方程式
:<math>\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)</math> ，
:<math>\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)</math> 。

代入新哈密頓量的方程式 (9) ，則可得到
:<math>\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)</math> 。

==第三型生成函數==
第三型生成函數只跟舊廣義動量 <math>\mathbf{p}</math> 、新廣義坐標 <math>\mathbf{Q}</math> 有關： 
:<math>G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} + G_{3}(\mathbf{p},\ \mathbf{Q},\ t)
</math> 。

以下 <math>2N+1</math> 方程式設定了變換 <math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})</math> ：
:<math>\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{p}}</math> ，
:<math>\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{Q}}</math> ，
:<math>\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{3}}{\partial t}</math> 。

==第四型生成函數==
第四型生成函數 <math>G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)</math> 只跟舊廣義動量 <math>\mathbf{p}</math> 、新廣義動量 <math>\mathbf{P}</math> 有關：
:<math>G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)</math> 。

以下 <math>2N+1</math> 方程式設定了變換 <math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})</math> ：
:<math>\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{p}}</math> ，
:<math>\mathbf{Q} = ~~\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{P}}</math> ，
:<math>\mathcal{K}= \mathcal{H} + \frac{\partial G_{4}}{\partial t}</math> 。

==實例 1==
第一型生成函數有一個特別簡易案例：
:<math>G_{1} \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{Q}</math> 。

方程式 (2) ，(3) ，(4) 的答案分別為
:<math>\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{Q}</math> ，
:<math>\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} = -\mathbf{q}
</math> ，
:<math>\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)</math> 。

==實例 2==
再擧一個涉及第二型生成函數，比較複雜的例子。讓
:<math>G_{2} \equiv \mathbf{g}(\mathbf{q};\ t) \cdot \mathbf{P}</math> ；

這裏， <math>\mathbf{g}</math> 是一組 <math>N</math> 個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，
:<math>\mathbf{Q}=\frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} =\mathbf{g}(\mathbf{q};\ t)</math> 。

==實例 3==
有時候，可以將一個給定的哈密頓量，變成一個很像[[諧振子]]的哈密頓量，
:<math>\mathcal{H} = aP^2 + b Q^2</math> 。

例如，假若哈密頓量為
:<math>\mathcal{H}= \frac{1}{2q^2} + \frac{p^2 q^4}{2}</math> ；<span style="position:absolute;right:15%">(12)</span>

這裏，<math>p</math> 是廣義動量，<math>q</math> 是廣義坐標。

一個優良的正則變換選擇是
:<math>P = pq^2</math> ，<span style="position:absolute;right:15%">(13)</span>
:<math>Q = - \frac{1}{q}</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(14)</span>

代入方程式 (12) ，新哈密頓量的形式與諧振子的哈密頓量型式相同：
:<math>\mathcal{H} = \frac{Q^2}{2} + \frac{P^2}{2}</math> 

這變換用的是第三型生成函數 <math>G_3(p,\ Q)</math> ；其對於 <math>Q</math> 的導數是
:<math>\frac{\partial G_3}{\partial Q}= - P</math> 。

代入方程式 (13) 、(14) ，
:<math>\frac{\partial G_3}{\partial Q}= - \frac{p}{Q^2}</math> 。

對於 <math>Q</math> 積分，可以得到生成函數 <math>G_3</math> ：
:<math>G_3(p,\ Q) = \frac{p}{Q}</math> 。

最後，檢查答案是否正確：
:<math>q = - \frac{\partial G_3}{\partial p} = \frac{-1}{Q}</math> 。

==參閱==
*[[哈密頓-亞可比方程式]]
*[[帕松括號]]
*[[正則變換列表]]

==參考文獻==
*{{cite book | author=Goldstein, Herbert | title=Classical Mechanics | publisher=Addison Wesley | year=2002 | id=ISBN 978-0-201-65702-9}}

[[Category:力學|Z]]
[[Category:經典力學|Z]]
[[Category:哈密頓力學|Z]]
[[Category:函数]]