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{{noteTA|G1=物理學}}
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在[[哈密頓力學]]裏，'''正則變換'''（canonical transformation）是一種[[正則坐標]]的改變，<math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})</math>，而同時維持[[哈密頓方程]]的形式，雖然[[哈密頓量]]可能會改變。正則變換是[[哈密頓-亞可比方程式]]與[[刘维尔定理 (哈密顿力学)|刘维尔定理]]的基礎。

==定義==
'''點變換'''（{{lang|en|point transformation}}）將[[廣義坐標]]<math>\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)</math>變換成廣義坐標<math>\mathbf{Q}=(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N)</math>，點變換方程式的形式為
:<math>q_i=q_i(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N</math>；

其中，<math>t</math>是[[時間]]。

在[[哈密頓力學]]裏，由於廣義坐標與[[廣義動量]]<math>\mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N)</math>同樣地都是[[自變量]]（{{lang|en|independent variable}}），點變換的定義可以加以延伸，使變換方程式成為
:<math>q_i=q_i(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N,\ P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N</math>，
:<math>p_i=p_i(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N,\ P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N</math>；

其中，<math>\mathbf{P}=(P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N)</math>是新的廣義動量。

為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為'''[[位形空間]]點變換'''，而後一種為'''[[相空間]]點變換'''。

在[[哈密頓力學]]裏，正則變換將一組正則坐標<math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p})</math>變換為一組新的正則坐標<math>(\mathbf{Q},\ \mathbf{P})</math>，而同時維持哈密頓方程式的形式（稱為'''形式不變性'''）。原本的哈密頓方程式為
:<math>\dot{\mathbf{q}} =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}</math>，
:<math>\dot{\mathbf{p}} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}} </math>；

新的哈密頓方程式為
:<math>\dot{\mathbf{Q}} =~~\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}</math>，
:<math>\dot{\mathbf{P}} = - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}} </math>；

其中，<math>\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)</math>、<math>\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)</math>分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。

==實際用處==
思考一個物理系統的哈密頓量
:<math>\mathcal{H}=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)</math>。

假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標<math>q_i</math>無關，則稱<math>q_i</math>為'''可略坐標'''（{{lang|en|ignorable coordinate}}），或'''循環坐標'''（{{lang|en|cyclic coordinate}}）：
:<math>\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}=0</math>。

在哈密頓方程式中，廣義動量對於時間的導數是
:<math>\dot{p}_i= - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}=0</math>。

所以，廣義動量<math>p_i</math>是常數<math>k_i</math>。

假設一個系統裏有<math>n</math>個廣義坐標是可略坐標。找出這<math>n</math>個可略坐標，則可以使這系統減少<math>2n</math>個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。

==生成函數方法==
:主項目：[[正則變換生成函數]]
採取一種間接的方法，稱為'''生成函數方法'''，從<math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ \mathcal{H}) </math>變換到<math>(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ \mathcal{K})</math>。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守[[哈密頓原理]]
:<math>\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)\right]dt=0</math>、

:<math>\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) \right]dt=0</math>。

那麼，必須令
:<math>\sigma \left[ \mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}}  - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) \right] = \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) + \frac{dG}{dt}</math>；

其中，<math>\sigma</math>是'''標度因子'''，<math>G</math>是'''生成函數'''。

假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為'''[[標度變換]]'''（{{lang|en|scale transformation}}）。一般而言，標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1，則稱此正則變換為'''延伸正則變換'''（{{lang|en|extended canonical transformation}}）；假若標度因子等於1，則稱為'''正則變換'''。

任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個<math>\sigma \ne 1</math>的延伸正則變換表示為
:<math>\sigma\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}\right]=\mathbf{P}'\cdot\dot{\mathbf{Q}}' - \mathcal{K}\,'+\frac{dG\,'}{dt}</math>。

則可以設定另外一組變數與哈密頓量：
<math>\mathbf{Q}=\alpha \mathbf{Q}'</math>、
<math>\mathbf{P}=\beta \mathbf{P}'</math>、
<math>\mathcal{K}=\alpha\beta\mathcal{K}\,'</math>、
<math>G=\alpha\beta G\,'</math>；其中，<math>\alpha,\ \beta</math>是用來刪除<math>\sigma</math>的常數，<math>\sigma=\frac{1}{\alpha\beta}</math>。經過一番運算，可以得到
:<math>\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}=\alpha\frac{\partial \mathcal{K}\,'}{\partial \mathbf{P}'}=\alpha\dot{\mathbf{Q}}'=\dot{\mathbf{Q}}</math>、
:<math>\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}}=\beta\frac{\partial \mathcal{K}\,'}{\partial \mathbf{Q}'}= - \beta\dot{\mathbf{P}}'= - \dot{\mathbf{P}}</math>、
:<math>\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}=\alpha\beta(\mathbf{P}'\cdot\dot{\mathbf{Q}}' - \mathcal{K}\,'+\frac{dG\,'}{dt})=\mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}+\frac{dG}{dt}</math>。<span tyle="position:absolute;right:15%">（1）</span>

顯然地，這變換符合哈密頓方程式。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。

假若正則變換不顯性含時間，則稱為'''設限正則變換'''（{{lang|en|restricted canonical transformation}}）。

生成函數<math>G</math>的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換<math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})</math>保證是正則變換。

===第一型生成函數===
第一型生成函數<math>G_{1}</math>只跟舊[[廣義坐標]]、新廣義坐標有關，
:<math>G=G_{1}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)</math>。

代入方程式（1）。展開生成函數對於時間的[[全導數]]，
:<math>\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}}  - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) =
\mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{1}}{\partial t} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} \cdot \dot{\mathbf{Q}}</math>。

新廣義坐標<math>\mathbf{Q}</math>和舊廣義坐標<math>\mathbf{q}</math>都是自變量，其對於時間的全導數<math>\dot{\mathbf{Q}}</math>和<math>\dot{\mathbf{q}}</math>互相無關，所以，以下<math>2N+1</math>個方程式都必須成立：
:<math>\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}}</math>，<span style="position:absolute;right:15%">（2）</span>
:<math>\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}}</math>，<span style="position:absolute;right:15%">（3）</span>
:<math>\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{1}}{\partial t}</math>。<span style="position:absolute;right:15%">（4）</span>

這<math>2N+1</math>個方程式設定了變換<math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})</math>，步驟如下：

第一組的<math>N</math>個方程式（2），設定了<math>\mathbf{p}</math>的<math>N</math>個函數方程式
:<math>\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)</math>。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出<math>\mathbf{Q}</math>的<math>N</math>個函數方程式
:<math>\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)</math>。<span style="position:absolute;right:15%">（5）</span>

第二組的<math>N</math>個方程式（3），設定了<math>\mathbf{P}</math>的<math>N</math>個函數方程式
:<math>\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)</math>。

代入函數方程式（5），可以算出<math>\mathbf{P}</math>的<math>N</math>個函數方程式
:<math>\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)</math>。<span style="position:absolute;right:15%">（6）</span>

從<math>2N</math>個函數方程式（5）、（6），可以逆算出<math>2N</math>個函數方程式
:<math>\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)</math>，
:<math>\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)</math>。

代入新哈密頓量<math>\mathcal{K}</math>的方程式（4），可以得到
:<math>\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)</math>。

===第二型生成函數===
第二型生成函數<math>G_{2}</math>的參數是舊廣義坐標<math>\mathbf{q}</math>、新廣義動量<math>\mathbf{P}</math>  與時間：
:<math>G = - \mathbf{Q}\cdot\mathbf{P}+G_{2}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)
</math>；

以下<math>2N+1</math>方程式設定了變換<math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})</math>：
:<math>\mathbf{p} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}}</math>，　
:<math>\mathbf{Q} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}}</math>，
:<math>\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{2}}{\partial t}</math>。

===第三型生成函數===
第三型生成函數<math>G_{3}</math>  的參數是舊廣義動量<math>\mathbf{p}</math>、新廣義坐標<math>\mathbf{Q}</math>與時間： 
:<math>G = \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} + G_{3}(\mathbf{p}, \mathbf{Q}, t)
</math>。

以下<math>2N+1</math>方程式設定了變換<math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})</math>：
:<math>\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{p}}</math>，
:<math>\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{Q}}</math>，
:<math>\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{3}}{\partial t}</math>。

===第四型生成函數===
第四型生成函數<math>G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)</math>的參數是舊廣義動量<math>\mathbf{p}</math>、新廣義動量<math>\mathbf{P}</math>與時間：
:<math>G = \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)</math>。

以下<math>2N+1</math>方程式設定了變換<math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})</math>：
:<math>\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{p}}</math>，
:<math>\mathbf{Q} = ~~\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{P}}</math>，
:<math>\mathcal{K}= \mathcal{H} + \frac{\partial G_{4}}{\partial t}</math>。

===實例1===
第一型生成函數有一個特別簡易案例：
:<math>G_{1} = \mathbf{q} \cdot \mathbf{Q}</math>。

生成函數的導數分別為
:<math>\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{Q}</math>，
:<math>\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} = -\mathbf{q}
</math>。

舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同：
:<math>\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)</math>。

===實例2===
再擧一個比較複雜的例子。讓
:<math>G_{2} \equiv \mathbf{g}(\mathbf{q};\ t) \cdot \mathbf{P}</math>；

這裏，<math>\mathbf{g}</math>是一組<math>N</math>個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，
:<math>\mathbf{Q}=\frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} =\mathbf{g}(\mathbf{q};\ t)</math>。

==不變量==
正則變換必須滿足哈密頓方程式不變；哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的[[不變量]]。

===辛條件===
[[辛標記]]提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個<math>2N\times 1</math>的豎[[矩陣]]<math>\boldsymbol{\xi}</math> :
:<math>\boldsymbol{\xi}^T=[q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N,\ p_1,\ p_2,\ p_3,\ \dots,\ p_N]</math>。

變數向量<math>\boldsymbol{\xi}</math>將<math>\mathbf{q}</math>與<math>\mathbf{p}</math>包裝在一起。這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為
:<math>\dot{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}</math>；

這裏，<math>\boldsymbol{\Omega}</math>是辛連結矩陣、<math>\mathcal{H}</math>是哈密頓量。

應用辛標記於正則變換，正則坐標會從舊正則坐標<math>\boldsymbol{\xi}</math>改變成新正則坐標<math>\boldsymbol{\Xi}</math>，<math>\boldsymbol{\xi} \rightarrow \boldsymbol{\Xi}</math>；哈密頓量也從舊的哈密頓量<math>\mathcal{H}</math>改變成新的哈密頓量<math>\mathcal{K}</math>，<math>\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}</math>；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：
:<math>\dot{\boldsymbol{\Xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}</math>；

這裏，<math>\mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{dG}{dt}+\mathbf{P}\dot{\mathbf{Q}} - \mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}</math>。

用第一型生成函數<math>G=G_1(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)</math>，則<math>\mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{\partial G_1}{\partial t}</math>。

取<math>\boldsymbol{\Xi}=\boldsymbol{\Xi}(\boldsymbol{\xi},\ t)</math>關於時間<math>t</math>的導數，
:<math>\dot{\boldsymbol{\Xi}}=\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}+\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial t}</math>；

這裏，<math>\mathbf{M}</math>是[[雅可比矩陣|亞可比矩陣]]，<math>M_{ij}=\frac{\partial \Xi_i}{\partial \xi_j}</math>。

代入哈密頓方程式，
:<math>\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}+\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial t}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}+\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial^2 G_1}{\partial \boldsymbol{\Xi}\ \partial t}</math> ;

假若限制正則變換為設限正則變換，也就是說，[[顯性]]地不含時間，解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間，則仍舊能得到與下述同樣的答案<ref name="Herb1980">{{cite book |last=Goldstein|first=Herbert|title=Classical Mechanics|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0201657023 | language=en| pages=pp. 384}}</ref>，這是一個很好的偏導數習題。現在，限制這正則變換為設限正則變換，則簡化後的方程式為
:<math>\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}</math>。

而<math>\mathcal{H}=\mathcal{H}(\boldsymbol{\xi})</math>，所以，

:<math>\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\frac{\partial \boldsymbol{\xi}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}=(\mathbf{M}^{-1})^T\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}= - (\mathbf{M}^{-1})^T\boldsymbol{\Omega}\dot{\boldsymbol{\xi}}</math>。

代回前一個方程式，取<math>\dot{\boldsymbol{\xi}}</math>的係數，則可以得到
:<math>\mathbf{M}= - \boldsymbol{\Omega}(\mathbf{M}^{-1})^T\boldsymbol{\Omega}</math>。

經過一番運算，
:<math>\mathbf{M}^T= - \boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}^{-1}\boldsymbol{\Omega}</math>；
:<math>\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}^{-1}</math>；
可以求出辛條件：
:<math>\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}</math>。

在這裏，得到了正則變換的辛條件：一個變換是正則變換，若且唯若辛條件成立。

===基本帕松括號不變量===
在[[相空间]]裏，兩個函數<math> f(\mathbf{q},\ \mathbf{p}),\ g(\mathbf{q},\ \mathbf{p})</math>關於[[正則坐標]]<math>\mathbf{q},\ \mathbf{p}</math>的'''帕松括號'''定義為
:<math>\big[f,\ g\big]_{(\mathbf{q},\ \mathbf{p})} = \sum_{i=1}^{N} \left(
\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} -
\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}
\right)</math>。

用辛標記，
:<math>\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}}=
\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}}</math>。

立刻，可以得到下述關係：
:<math>\big[q_i,\ q_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\big[p_i,\ p_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=0</math>，
:<math>\big[q_i,\ p_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}= - \big[p_i,\ q_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\delta_{ij}</math>。

定義'''基本帕松括號'''<math>\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]</math>為一個[[方矩陣]]，其中，元素<math>ij</math>的值是<math>\big[\xi_i,\ \xi_j\big]</math>。那麼，
:<math>\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}</math>。

思考一個變換<math>\boldsymbol{\xi}\rightarrow \boldsymbol{\Xi}</math>。新坐標的基本帕松括號為
:<math>\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}</math>。

這兩個正則坐標的亞可比矩陣<math>M</math>是
:<math>M=\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}</math>。

代入前一個方程式，則
:<math>\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}</math>。

假若這變換是正則變換，辛條件<math>\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}</math>必須成立，
:<math>\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}</math>。

相反地，假若<math>\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}</math>，則辛條件成立，這變換是正則變換。

所以，一個變換是正則變換，若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為<math>\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]</math>，而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。

===帕松括號不變量===
思考兩個函数<math>f,\ g</math>對於[[正則坐標]]<math>\boldsymbol{\xi}</math>的泊松括號

:<math>\begin{align}\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}} & =\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}}  \\
& = \left(\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}} \\ 
& = \left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T M^T \boldsymbol{\Omega}M\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\ \ _\circ \\ \end{align} </math> 

假若這變換是正則變換，辛條件<math>\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}</math>必須成立，
:<math>\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T\boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\Xi}}</math>。

所以，任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號，都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時，可以忽略下標符號，直接表示為<math>\big[f,\ g\big]</math>，而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。

==參閱==
*[[正則變換列表]]
*[[正則座標]]
*[[泊松括號|帕松括號]]
*[[辛矩陣]]
*[[辛拓撲]]
*[[辛群]]

==參考文獻==
{{reflist}}
* Landau LD and Lifshitz EM (1976) ''Mechanics'', 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).


[[Category:經典力學|Z]]
[[Category:哈密頓力學|Z]]
[[Category:辛幾何|Z]]