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'''正切半角公式'''又称'''万能公式'''，这一组[[公式]]有四个功能：
#将[[角]]统一为<math>\frac{\alpha }{2}</math><ref name="book 2020歡樂品數學">{{cite book
  |author=唐小謙
  |title=歡樂品數學：愛上你眼中的魔鬼學科
  |isbn=9789865552176
  |year=2020
  |page=234
  |publisher=清文華泉}}</ref>；
#将[[函数]][[名称]]统一为<math>\tan</math>；
#任意[[实数]]都可以<math>\tan \frac{\alpha }{2}</math>的[[形式]]表達，可用[[正切函数]][[换元]]。
#在某些[[积分]]中，可以将含有[[三角函数]]的积分变为[[有理數|有理]][[分式]]的积分。
因此，这组公式被称为'''以切表弦公式'''，简称'''以切表弦'''。它们是由[[二倍角公式]]求得的。
:<math>\sin \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}</math>
:<math>\cos \alpha = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}</math>
:<math>\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}</math>
:<math>\cot \alpha = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}</math>
:<math>\sec \alpha = \frac{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}</math>
:<math>\csc \alpha = \frac{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}</math>

而被称为'''萬能公式'''的[[原因]]是利用<math>\tan \frac{\alpha }{2}</math>的代換可以解決一些有關三角函数的積分。参见[[三角换元法]]。

:<math>
\begin{align}
\tan\left(\frac{\eta}{2} \pm \frac{\theta}{2}\right) & = \frac{\sin\eta \pm \sin\theta}{\cos\eta + \cos\theta} = -\frac{\cos\eta - \cos\theta}{\sin\eta \mp \sin\theta}, \\[10pt]
\tan\left(\pm\frac{\theta}{2}\right) & = \frac{\pm\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{\pm\tan\theta}{\sec\theta + 1} = \frac{\pm 1}{\csc\theta + \cot\theta}, ~~~~(\eta = 0) \\[10pt]
\tan\left(\pm\frac{\theta}{2}\right) & = \frac{1-\cos\theta}{\pm\sin\theta} = \frac{\sec\theta-1}{\pm\tan\theta} = \pm(\csc\theta-\cot\theta), ~~~~(\eta=0) \\[10pt]
\tan\left(\frac{\pi}{4} \pm \frac{\theta}{2} \right) & = \frac{1 \pm \sin\theta}{\cos\theta} = \sec\theta \pm \tan\theta = \frac{\csc\theta \pm 1}{\cot\theta}, ~~~~(\eta=\frac{\pi}{2}) \\[10pt]
\tan\left(\frac{\pi}{4} \pm \frac{\theta}{2} \right) & = \frac{\cos\theta}{1 \mp \sin\theta} = \frac{1}{\sec\theta \mp \tan\theta} = \frac{\cot\theta}{\csc\theta \mp 1}, ~~~~(\eta=\frac{\pi}{2}) \\[10pt]
\frac{1 - \tan\frac{\theta}{2}}{1 + \tan\frac{\theta}{2}} & = \sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}}.
\end{align}
</math>


==万能公式的证明==
由[[二倍角公式]]，有：

:<math>\sin \alpha 
= 2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} =\frac{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2}} 
= \frac{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} \div \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{(\cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2})\div \cos^2 \frac{\alpha}{2}}  
= \frac{2\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{1+\frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}
=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}} </math>

<math>\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}</math>

再由[[同角三角函数]]间的[[关系]]，得出

:<math>\cos \alpha = \frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}=\frac{\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}}{\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}} = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}</math>

[[Category:三角学]]
[[Category:数学恒等式]]
=== 几何证明 ===

[[Image:Weierstrass substitution.svg|right|400px|thumb|正切半角公式的'''几何证明''' ]]

在[[单位圆]]内，<math>t = \tan\frac{\phi}{2}</math>。根据[[相似]]关係，<math>\frac{t}{\sin \phi} = \frac{1}{1+ \cos \phi}</math>，可得出
:<math>t = \frac{\sin \phi}{1+ \cos \phi} = \frac{\sin \phi(1- \cos \phi)}{(1+ \cos \phi)(1- \cos \phi)} = \frac{1- \cos \phi}{\sin \phi}</math>
。


显然<math>\tan \frac{a+b}{2} = \frac{\sin \frac{a+b}{2}}{\cos \frac{a+b}{2}} = \frac{\sin a + \sin b}{\cos a + \cos b}</math>。

==双曲函数==
此公式亦可以对[[双曲函数]]起到类似的作用，由[[双曲线]]右支上的一[[点]]<math>(\cosh \theta, \sinh \theta)</math>给出。从<math>(-1,0)</math>到''y''[[轴]]给出了如下[[等式]]：

:<math>t = \tanh\frac{1}{2}\theta = \frac{\sinh\theta}{\cosh\theta+1} = \frac{\cosh\theta-1}{\sinh\theta}</math>

可以得到
{| cellpadding=5 style="margin-left: 2em;"
|<math>\cosh\theta = \frac{1 + t^2}{1 - t^2},</math>
|&nbsp;
|<math>\sinh\theta = \frac{2t}{1 - t^2},</math>
|-
|<math>\tanh\theta = \frac{2t}{1 + t^2},</math>
|&nbsp;
|<math>\coth\theta = \frac{1 + t^2}{2t},</math>
|-
|<math>\mathrm{sech}\,\theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2},</math>
|&nbsp;
|<math>\mathrm{csch}\,\theta = \frac{1 - t^2}{2t},</math>
|}

和

{| cellpadding=5 style="margin-left: 2em;"
|<math>e^{\theta} = \frac{1 + t}{1 - t},</math>
|&nbsp;
|<math>e^{-\theta} = \frac{1 - t}{1 + t}.</math>
|}
[[卡尔·维尔斯特拉斯]]引入这个式子来省去查找[[原函数]]的麻烦。

<math>\theta</math>在<math>T</math>而得出下面的[[双曲反正切函數]]和[[自然对数]]之间的关系：
:<math>\operatorname{artanh} t = \frac{1}{2}\ln\frac{1+t}{1-t}.</math>

== 參見 ==
*[[三角恒等式]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

== 外部連結 ==
* [[Planetmath]]上的[http://planetmath.org/encyclopedia/TangentOfHalvedAngle.html 正切半角公式] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/TangentOfHalvedAngle.html |date=20100620174537 }}

{{三角函數}}