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{{NoteTA|G1=Math}}
在[[线性代数]]和[[泛函分析]]的[[数学]]领域中，[[内积空间]] ''V'' 的[[线性子空间|子空间]] ''W'' 的'''正交补'''（{{lang-en|'''orthogonal complement'''}}） <math>W^\bot</math> 是[[正交]]于 ''W'' 中所有向量的所有 ''V'' 中向量的集合，也就是

:<math>W^\bot=\left\{\,x\in V : \forall y\in W, \langle x , y \rangle = 0 \, \right\}.\, </math>

正交补总是闭合在度量拓扑下。在[[希尔伯特空间]]中，''W'' 的正交补的正交补是 ''W'' 的[[闭包]]，就是说

:<math>W^{\bot\,\bot}=\overline{W}.\, </math>

如果 A 是 <math>m \times n</math> 矩阵，而 <math>\mbox{Row } A</math>, <math>{\mbox{Col } } A</math> 和 <math>\mbox{Nul } A</math> 分别指称[[列空间]]、[[行空间]]和[[零空间]]，则有

:<math>(\mathrm{Row}\, A)^\bot = \mathrm{Nul}\, A</math>

和

:<math>(\mathrm{Col}\, A)^\bot = \mathrm{Nul}\, A^T</math>

== 巴拿赫空间 ==

在一般的[[巴拿赫空间]]中有自然的类似物。在这种情况下类似的定义 ''W'' 的正交补为 ''V'' 的[[对偶空间|对偶]]的子空间

:<math>W^\bot = \left\{\,x\in V^* : \forall y\in W, x(y) = 0 \, \right\}.\, </math>

它总是 <math>V^*</math> 的闭合子空间。它也有类似的双重补性质。<math>W^{\bot\,\bot}</math> 现在是 <math>{V^*}^*</math> 的子空间(它同一于 <math>V</math>)。但是[[自反空间]]有在 <math>V</math> 和 <math>{{V^*}^*}</math> 之间的[[自然变换|自然]][[同构]] <math>i</math>。在这种情况下我们有

:<math>i\overline{W} = W^{\bot\,\bot}.</math>

这是[[哈恩-巴拿赫定理]]的直接推论。

[[Category:线性代数|Z]]
[[Category:泛函分析]]