正交补

Template:NoteTA 在线性代数和泛函分析的数学领域中，内积空间 V 的子空间 W 的正交补（Template:Lang-en） $W^{⊥}$ 是正交于 W 中所有向量的所有 V 中向量的集合，也就是

W^{⊥} = {x \in V : \forall y \in W, ⟨ x, y ⟩ = 0} .

正交补总是闭合在度量拓扑下。在希尔伯特空间中，W 的正交补的正交补是 W 的闭包，就是说

W^{⊥ ⊥} = \overline{W} .

如果 A 是 $m \times n$ 矩阵，而 $Row A$ , $Col A$ 和 $Nul A$ 分别指称列空间、行空间和零空间，则有

(R o w A)^{⊥} = N u l A

和

(C o l A)^{⊥} = N u l A^{T}

巴拿赫空间

在一般的巴拿赫空间中有自然的类似物。在这种情况下类似的定义 W 的正交补为 V 的对偶的子空间

W^{⊥} = {x \in V^{*} : \forall y \in W, x (y) = 0} .

它总是 $V^{*}$ 的闭合子空间。它也有类似的双重补性质。 $W^{⊥ ⊥}$ 现在是 ${V^{*}}^{*}$ 的子空间(它同一于 $V$ )。但是自反空间有在 $V$ 和 ${V^{*}}^{*}$ 之间的自然同构 $i$ 。在这种情况下我们有

i \overline{W} = W^{⊥ ⊥} .

这是哈恩-巴拿赫定理的直接推论。