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{{NoteTA|G1=Math}}
在[[數學]]裏，一個'''正交坐標系'''定義為一組[[正交]][[坐標系|坐標]]<math>\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots\ q_n)</math>，其[[坐標曲面]]都以直角相交（注意：很多作者采用[[爱因斯坦记号]]对坐标标号使用上标并非表示指数）。坐標曲面定義為特定坐標<math>q_i</math>的[[等值曲面]]，即<math>q_i</math>為常数的[[曲线]]、[[曲面]]或[[超曲面]]。例如，三維[[直角坐標]]<math>(x,\ y,\ z)</math>是一種正交坐標系，它的<math>x</math>為常數，<math>y</math>為常數，<math>z</math>為常數的坐標曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。正交坐标系是[[曲线坐标系]]的特殊的但极其常见的形式。

==动机==
正交座標時常用來解析一些出現於[[量子力學]]、[[流體動力學]]、[[電動力學]]、[[熱力學]]等等的[[偏微分方程]]。舉例而言，選擇一個恰當的的正交座標來解析[[氫離子]]<math>H_2\,^- </math>的[[波函數]]或消防水管的噴水，也許會比用直角座標方便的多。這主要是因為恰當的正交座標能夠與一個問題的[[對稱性]]相配合，從而促使應用[[分離變數法]]來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧，專門用來將一個複雜的<math>n</math>維問題變為<math>n</math>個一維問題。很多問題都可以簡化為[[拉普拉斯方程]]或[[亥姆霍茲方程]]，這些方程式可以用很多種正交座標來分離。[[拉普拉斯方程]]可以在13个正交坐标系中分离（本文列出的14个中[[圆环坐标系]]除外），而[[亥姆霍茲方程]]可以在11个正交坐标系中分离<ref>{{Cite web
| url = http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalCoordinateSystem.html
| title = Orthogonal Coordinate System
| author = [[Eric W. Weisstein]]
| publisher = [[MathWorld]]
| accessdate = 10 July 2008
| archive-date = 2014-11-12
| archive-url = https://web.archive.org/web/20141112082257/http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalCoordinateSystem.html
| dead-url = no
}}</ref><ref>{{Harvnb|Morse and Feshbach|1953|loc=Volume 1, pp. 494-523, 655-666.}}</ref>。

==概述==
[[File:Conformal map.svg|right|thumb|[[共形映射]]作用于矩形网格。注意，弯曲的网格的正交性被保留。]]
正交坐標的[[度規張量]]絕對沒有非對角項目。換句話說，無窮小距離的平方<math>ds^2</math>，可以寫為無窮小坐標位移的平方和：
:<math>ds^{2} = \sum_{i=1}^{n} \left( h_{i} dq_{i} \right)^{2}</math>；

其中，<math>n</math>是維數，標度因子<math>h_i</math>是度規張量的對角元素<math>g_{ii}</math>的平方根：

:<math>h_{i}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{ii}(\mathbf{q})}
</math>。

這些標度因子可以用來計算一個正交坐標系的微分[[算子]]。例如，[[梯度]]、[[拉普拉斯算子]]、[[散度]]、或[[旋度]]。

在數學裏，存在有各種各樣的正交座標系。應用二維[[直角座標系]]<math>(x,\ y)</math>的[[共形映射]]方法，可以簡易的生成這些正交座標系。一個複數<math>z=x+iy</math>的任何[[全純函數]]<math>w=f(z)</math>，其複值的導數，如果不等於零，則會造成一個[[共形映射]]。如果答案可以表達為<math>w=u+iv</math>，則<math>u</math>與<math>v</math>的等值曲線以直角相交，就如同原本的<math>x</math>與<math>y</math>的等值曲線以直角相交。

三維與更高維的正交座標系可以由一個二維正交座標系生成，只要將二維正交座標往一個新的座標軸投射（形成類似[[圓柱座標系]]的座標系），或者將二維正交座標繞著其對稱軸旋轉。可是，也有一些三維正交座標系，例如[[橢球座標系]]，則不能夠用上述方法得到。更一般的正交坐标可以从一些必要的坐标曲面/曲线起步并通过考虑它们的{{en-link|正交轨迹线|Orthogonal trajectory}}而得到。

== 向量代数 ==
在正交坐標系裏，[[內積]]的公式仍舊不變：
:<math>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \sum_{i=1}^{n} A_{i} B_{i}</math>。

==向量微積分==
從前面的距離公式，可以觀察出，一個正交坐標<math>q_{i}</math>的無窮小改變<math>dq_{i}</math>，其相伴的長度是<math>ds_{i} = h_{i} dq_{i}</math>。因此，一個位移向量的全微分<math>d\mathbf{r}</math>等於

:<math>d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^{n} h_{i} dq_{i} \mathbf{e}_{i}</math>；

其中，<math>\mathbf{e}_{i}</math>是垂直於<math>q_{i}</math>等值曲面的單位向量，指向著<math>q_{i}</math>增值最快的方向，這些單位向量形成了一個局部直角坐標系的坐標軸。

因此，向量<math>\mathbf{F}</math>沿著周線<math>\mathbb{C}</math>的線積分等於

:<math>\int_{\mathbb{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} =
\sum_{i=1}^{n} \int_{\mathbb{C}} F_{i} h_{i} dq_{i}</math>；

其中，<math>F_{i}</math>是向量<math>\mathbf{F}</math>在單位向量<math>\mathbf{e}_{i}</math>方向的分量：
:<math>F_{i} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{F}
</math>。

類似地，一個無窮小面積元素是
:<math>dA = ds_{i} ds_{j} = h_{i} h_{j} dq_{i} dq_{j},\qquad i\neq j</math>，

一個無窮小體積元素是
:<math>dV = ds_{i} ds_{j} ds_{k} = h_{i} h_{j} h_{k} dq_{i} dq_{j} dq_{k},\qquad i \neq j \neq k</math>。

例如，向量<math>\mathbf{F}</math>對於一個曲面<math>\mathbb{S}</math>的曲面積分是

:<math>\int_{\mathbb{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A} =
\int_{\mathbb{S}} F_{1} h_{2} h_{3} dq_{2} dq_{3} + 
\int_{\mathbb{S}} F_{2} h_{3} h_{1} dq_{3} dq_{1} + 
\int_{\mathbb{S}} F_{3} h_{1} h_{2} dq_{1} dq_{2}</math>。

=== 球坐標系實例 ===
[[File:Nabla spherical2.svg|right]]
直角坐標<math>(x,\ y,\ z)</math>與球坐標<math>(r,\ \theta, \phi)</math>的變換方程式為

:<math>x=r\sin\theta\cos\phi</math>、
:<math>y=r\sin\theta\sin\phi</math>、
:<math>z=r\cos\theta</math>。

直角坐標的全微分是
:<math>dx=\sin\theta\cos\phi dr+r\cos\theta\cos\phi d\theta - r\sin\theta\sin\phi d\phi</math>、
:<math>dy=\sin\theta\sin\phi dr+r\cos\theta\sin\phi d\theta+r\sin\theta\cos\phi d\phi</math>、
:<math>dz=\cos\theta dr - r\sin\theta d\theta</math>。

所以，無窮小距離的平方是
:<math>\begin{align}ds^{2} & = dx^{2}+dy^{2}+dz^{2} \\
 & =dr^{2}+(rd\theta)^{2}+(r\sin\theta d\phi)^{2} \\\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

標度因子是
:<math>h_r=1</math>、
:<math>h_{\theta}=r</math>、
:<math>h_{\phi}=r\sin\theta</math>。

向量<math>\mathbf{F}</math>沿著周線<math>\mathbb{C}</math>的線積分等於
:<math>\int_{\mathbb{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{\mathbb{C}}F_{r}\ dr+F_{\theta}\ rd\theta+F_{\phi}\ r\sin\theta d\phi</math>。

向量<math>\mathbf{F}</math>對於一個曲面<math>\mathbb{S}</math>的曲面積分是

:<math>\int_{\mathbb{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A} =
\int_{\mathbb{S}} F_r\ r^2\sin\theta d\theta d\phi+ 
\int_{\mathbb{S}} F_{\theta}\ r\sin\theta dr d\phi + 
\int_{\mathbb{S}} F_{\phi}\ r dr d\theta</math>。

== 三維微分算子 ==
{{Main|向量分析|Nabla算子}}
{|class="wikitable"
!  算子
!  正交坐標公式
|-
|[[标量场]]的[[梯度]]
|<math>\nabla \Phi = \hat{\mathbf{e}}_{1}\frac{1}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} +
\hat{\mathbf{e}}_{2}\frac{1}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} +
\hat{\mathbf{e}}_{3}\frac{1}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}}</math>
|-
|[[向量场]]的[[散度]]
|<math>\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3)+\frac{\partial}{\partial q_2}(F_2 h_3 h_1) + 
\frac{\partial}{\partial q_3}(F_3 h_1 h_2) \right]</math>
|-
|[[向量场]]的[[旋度]]
|<math>\begin{align}\nabla \times \mathbf{F} & =\frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{2} h_{3}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{3} F_{3} \right) - 
\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{2} F_{2} \right)\right] + 
\frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{3} h_{1}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{1} F_{1} \right) - 
\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{3} F_{3} \right)\right] \\
  & +\frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{1} h_{2}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{2} F_{2} \right) - 
\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{1} F_{1} \right)\right] \\ \end{align}</math>
|-
|[[标量场]]的[[拉普拉斯算子]]
|<math>\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} 
\left[
\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( \frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} \right) +
\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( \frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} \right) +
\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}} \right)
\right]
</math>
|}
上面表达式可以使用[[列維-奇維塔符號]]<math>\epsilon</math>的更简洁形式书写，定义<math>H = h_1 h_2 h_3</math>，并使用[[爱因斯坦记号]]，即在同时出现上标和下标的项目上求此项所有可能的总和:
{| class="wikitable"
|-
! 算子
! 表达式
|-
| [[标量场]]的[[梯度]]
| <math>
\nabla \phi =
\frac{\hat{ \mathbf e}_k}{h_k} \frac{\partial \phi}{\partial q^k}
</math>
|-
|[[向量场]]的[[散度]]
|<math>
\nabla \cdot \mathbf F =
\frac{1}{H}\frac{\partial}{\partial q^k} \left(\frac{H}{h_k} F_k\right)
</math>
|-
|向量场（只3D）的[[旋度]]
|<math>
\left(\nabla \times \mathbf F\right)_k =
\frac{h_k \hat{ \mathbf e}_k}{H}
\epsilon_{ijk}\frac{\partial}{\partial q^i}\left(h_j F_j\right)
</math>
|-
| 标量场的[[拉普拉斯算子]]
| <math>
\nabla^2 \phi = \frac{1}{H}
\frac{\partial}{\partial q^k}\left(\frac{H}{h_k^2}\frac{\partial \phi}{\partial q^k}\right)
</math>
|}

==二维正交坐标系表格==
{| class="wikitable"
|+
!坐标系
!复数变换
<math>x+iy = f(u+iv)</math>
!<math>u</math>和<math>v</math>等值线的形状
!注释
|-
|[[笛卡尔坐标系|直角]]
|<math>u + iv</math>
|直线, 直线
|
|-
|{{en-link|对数极坐标系|Log-polar coordinates|对数极}}
|<math>\exp(u+iv)</math>
|圆, 直线
|若<math>u = \ln r</math>则为[[极坐标系]]
|-
|[[抛物线坐标系|抛物线]]
|<math>\frac12 (u+iv)^2</math>
|抛物线, 抛物线
|
|-
|点偶极
|<math>(u+iv)^{-1}</math>
|圆, 圆
|
|-
|[[椭圆坐标系|椭圆]]
|<math>\cosh(u+iv)</math>
|椭圆, 双曲线
| 对于大距离看似对数极
|-
|[[双极坐标系|双极]]
|<math>\coth(u+iv)</math>
|圆, 圆
|对于大距离看似点偶极
|-
|
|<math>\sqrt{u+iv}</math>
|双曲线, 双曲线
|
|-
|
|<math>u = x^2 + 2y^2,\ y=vx^2</math>
|椭圆, 抛物线
|
|}

{{multiple image
 | align = none
 | perrow = 5  | total_width=1300
 | image1=Coordsys cartesian.png | caption1=直角
 | image2=Coordsys polar.png | caption2=单极
 | image3=Coordsys logpolar.png | caption3=对数极
 | image4=Coordsys_ellipse_parabola.png| caption4=椭圆-抛物线
 | image5=Coordsys parabolic.png | caption5=抛物线
 | image6=Coordsys dipol.png | caption6=点偶极
 | image7=Coordinate system sqrt(u+iv).png| caption7=sqrt(u+iv)
 | image8=Coordsys elliptic.png | caption8=椭圆
 | image9=Coordsys bipolar.png | caption9=双极
 | image10=Coordsys ln.png | caption10=反对数极
}}

==三维正交坐标系表格==
<!--Please do not delete - its a summary, thanks.-->
除了直角坐标系之外，下表列出其他常见的正交坐标系<ref>Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, {{isbn|978-0-07-161545-7}}</ref>，为了简明性在坐标列中使用了[[区间|区间符号]]。

{| class="wikitable"
|-
! 曲线坐标 (q<sub>1</sub>, q<sub>2</sub>, q<sub>3</sub>)
! 从直角坐标(x, y, z)转换
! 缩放因子
|-
| [[球坐标系|球极坐标系]]
<math>(r, \theta, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,2\pi)</math>
| <math>\begin{align}
x&=r\sin\theta\cos\phi \\
y&=r\sin\theta\sin\phi \\
z&=r\cos\theta
\end{align}</math>
| <math>\begin{align}
h_1&=1 \\
h_2&=r \\
h_3&=r\sin\theta
\end{align}</math>
|-
| [[圆柱坐标系]]

<math>(\rho, \phi, z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)</math>
| <math>\begin{align}
x&=\rho\cos\phi \\
y&=\rho\sin\phi \\
z&=z
\end{align}</math>
| <math>\begin{align}
h_1&=h_3=1 \\
h_2&=\rho
\end{align}</math>
|-
| [[抛物柱面坐标系]]
<math>(u, v, z)\in(-\infty,\infty)\times[0,\infty)\times(-\infty,\infty)</math>
| <math>\begin{align}
x&=\frac{1}{2}(u^2-v^2)\\
y&=uv\\
z&=z
\end{align}</math>
| <math>\begin{align}
h_1&=h_2=\sqrt{u^2+v^2} \\
h_3&=1
\end{align}</math> 
|-
| [[抛物线坐标系#三维抛物线坐标系|抛物线坐标系]]
<math>(u, v, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\infty)\times[0,2\pi)</math>
| <math>\begin{align}
x&=uv\cos\phi\\
y&=uv\sin\phi\\
z&=\frac{1}{2}(u^2-v^2)
\end{align}</math>
| <math>\begin{align}
h_1&=h_2=\sqrt{u^2+v^2} \\
h_3&=uv
\end{align}</math> 
|-
| [[椭圆柱坐标系]]
<math>(u, v, z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)</math>
| <math>\begin{align}
x&=a\cosh u \cos v\\
y&=a\sinh u \sin v\\
z&=z
\end{align}</math>
| <math>\begin{align}
h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2u+\sin^2v} \\
h_3&=1
\end{align}</math> 
|-
| [[长球面坐标系]]
<math>(\xi, \eta, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,2\pi)</math>
| <math>\begin{align}
x&=a\sinh\xi\sin\eta\cos\phi\\
y&=a\sinh\xi\sin\eta\sin\phi\\
z&=a\cosh\xi\cos\eta
\end{align}</math>
| <math>\begin{align}
h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta} \\
h_3&=a\sinh\xi\sin\eta
\end{align}</math> 
|-
| [[扁球面坐标系]]
<math>(\xi, \eta, \phi)\in[0,\infty)\times\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\times[0,2\pi)</math>
| <math>\begin{align}
x&=a\cosh\xi\cos\eta\cos\phi\\
y&=a\cosh\xi\cos\eta\sin\phi\\
z&=a\sinh\xi\sin\eta
\end{align}</math>
| <math>\begin{align}
h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta} \\
h_3&=a\cosh\xi\cos\eta
\end{align}</math> 
|-
| [[双极圆柱坐标系]]
<math>(u,v,z)\in[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)\times(-\infty,\infty)</math>
| <math>\begin{align}
x&=\frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u}\\
y&=\frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u}\\
z&=z
\end{align}</math>
| <math>\begin{align}
h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\
h_3&=1
\end{align}</math>
|-
| [[圆环坐标系]]
<math>(u,v,\phi)\in(-\pi,\pi]\times[0,\infty)\times[0,2\pi)</math>
| <math>\begin{align}
x &= \frac{a\sinh v \cos\phi}{\cosh v - \cos u}\\
y &= \frac{a\sinh v \sin\phi}{\cosh v - \cos u} \\
z &= \frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u}
\end{align}</math>
| <math>\begin{align}
h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\
h_3&=\frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u}
\end{align}</math>
|-
| [[双球坐标系]]
<math>(u,v,\phi)\in(-\pi,\pi]\times[0,\infty)\times[0,2\pi)</math>
| <math>\begin{align}
x &= \frac{a\sin u \cos \phi}{\cosh v - \cos u}\\
y &= \frac{a\sin u \sin \phi}{\cosh v - \cos u} \\
z &= \frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u}
\end{align}</math>
| <math>\begin{align}
h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\
h_3&=\frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u}
\end{align}</math>
|-
| [[圆锥坐标系]]
<math>\begin{align}
& (\lambda,\mu,\nu)\\
& \nu^2 < b^2 < \mu^2 < a^2 \\
& \lambda \in [0,\infty)
\end{align}</math>
| <math>\begin{align}
x &= \frac{\lambda\mu\nu}{ab}\\
y &= \frac{\lambda}{a}\sqrt{\frac{(\mu^2-a^2)(\nu^2-a^2)}{a^2-b^2}} \\
z &= \frac{\lambda}{b}\sqrt{\frac{(\mu^2-b^2)(\nu^2-b^2)}{a^2-b^2}}
\end{align}</math>
| <math>\begin{align}
h_1&=1\\
h_2^2&=\frac{\lambda^2(\mu^2-\nu^2)}{(\mu^2-a^2)(b^2-\mu^2)}\\
h_3^2&=\frac{\lambda^2(\mu^2-\nu^2)}{(\nu^2-a^2)(\nu^2-b^2)}
\end{align}</math>
|-
| [[抛物面坐标系]]
<math>\begin{align}
& (\lambda, \mu, \nu)\\
& \lambda < b^2 < \mu < a^2 < \nu
\end{align}</math>
| <math>\frac{x^2}{q_i - a^2} + \frac{y^2}{q_i - b^2} = 2 z + q_i</math>
其中 
<math>(q_1,q_2,q_3)=(\lambda,\mu,\nu)</math>
| <math>h_i=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(q_j-q_i)(q_k-q_i)}{(a^2-q_i)(b^2-q_i)}}</math> 
|-
| [[椭球坐标系]]
<math>\begin{align}
& (\lambda, \mu, \nu)\\
& \lambda < c^2 < b^2 < a^2,\\
& c^2 < \mu < b^2 < a^2,\\
& c^2 < b^2 < \nu < a^2,
\end{align}</math>
| <math>\frac{x^2}{a^2 - q_i} + \frac{y^2}{b^2 - q_i} + \frac{z^2}{c^2 - q_i} = 1</math>
其中 
<math>(q_1,q_2,q_3)=(\lambda,\mu,\nu)</math>
| <math>h_i=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(q_j-q_i)(q_k-q_i)}{(a^2-q_i)(b^2-q_i)(c^2-q_i)}}</math> 
|-
|}

==微分算子导引==
=== 梯度導引 ===
一個函數<math>\phi</math>的梯度朝某個方向<math>\hat{\mathbf{n}}</math>的分量，等於[[方向導數]]  <math>\frac{d\phi}{ds}</math>朝<math>\hat{\mathbf{n}}</math>方向的值：
:<math>\nabla \Phi \cdot\hat{\mathbf{n}}=\frac{d\phi}{ds}</math>；

其中，<math>ds</math>是朝<math>\hat{\mathbf{n}}</math>方向的無窮小位移。

假若，這<math>\hat{\mathbf{n}}</math>與正交坐標軸<math>\hat{\mathbf{e}}_i</math>同方向。那麼，<math>ds=h_i dq_i</math>。所以，函數<math>\phi</math>的梯度朝<math>\hat{\mathbf{e}}_i</math>的分量是<math>\frac{\partial \phi}{h_i \partial q_i}</math>；也就是說，
:<math>\nabla \Phi = \hat{\mathbf{e}}_{1}\frac{1}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} +
\hat{\mathbf{e}}_{2}\frac{1}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} +
\hat{\mathbf{e}}_{3}\frac{1}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}}</math>。

=== 散度導引 ===
:<math>\nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1+\hat{\mathbf{e}}_{2}F_2+\hat{\mathbf{e}}_{3}F_3)</math>。

取右手邊第一個項目，
:<math>\nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_1F_1)= \nabla \cdot \left[\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\left(h_2 h_3 F_1\right)\right]</math>。

應用[[向量恆等式列表|向量恆等式]]<math>\nabla \cdot (\mathbf{A}\phi)=\phi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot(\nabla\phi)</math>與<math>\nabla \cdot (\nabla\phi_1 \times \nabla\phi_2)=0</math>，可以得到
:<math>\begin{align} \nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_1F_1) & =(h_2 h_3 F_1)\nabla \cdot\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)+\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\
 & =(h_2 h_3 F_1)\nabla\cdot[(\nabla q_2)\times\nabla(q_3)] +\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\
 & =\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\
 & =\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3) \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

總合所有項目，
:<math>\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3)+\frac{\partial}{\partial q_2}(F_2 h_3 h_1) + 
\frac{\partial}{\partial q_3}(F_3 h_1 h_2) \right]</math>。


=== 旋度導引 ===
:<math>\nabla \times \mathbf{F}=\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1+\hat{\mathbf{e}}_{2}F_2+\hat{\mathbf{e}}_{3}F_3)</math>。

取右手邊第一個項目，
:<math>\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1)=\nabla \times \left[\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\left(h_1 F_1\right)\right]</math>。

應用向量恆等式<math>\nabla \times (\mathbf{A}\phi)=\phi\nabla\times\mathbf{A} - \mathbf{A}\times(\nabla\phi)</math>，

:<math>\begin{align} \nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1) & =(h_1 F_1)\nabla\times\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right) - \left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\times\nabla(h_1 F_1) \\
  & =(h_1 F_1)\nabla\times(\nabla q_1) - \left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\times\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_{2}}{h_{2}} \frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_1 F_1) +
\frac{\hat{\mathbf{e}}_{3}}{h_{3}} \frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_1 F_1)\right) \\ 
\end{align}</math><span style="vertical-align:bottom">。</span>

應用向量恆等式<math>\nabla \times (\nabla\phi)=0</math>，
:<math>\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1)=\frac{\hat{\mathbf{e}}_{2}}{h_1 h_{3}} \frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_1 F_1) - \frac{\hat{\mathbf{e}}_{3}}{h_1 h_{2}} \frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_1 F_1)</math>。

總合所有項目，
:<math>\begin{align}\nabla \times \mathbf{F} & =\frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{2} h_{3}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{3} F_{3} \right) - 
\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{2} F_{2} \right)\right] + 
\frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{3} h_{1}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{1} F_{1} \right) - 
\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{3} F_{3} \right)\right] \\
  & +\frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{1} h_{2}} 
\left[\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{2} F_{2} \right) - 
\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{1} F_{1} \right)\right] \\ \end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

=== 拉普拉斯算子 ===

:<math>\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} 
\left[
\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( \frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} \right) +
\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( \frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} \right) +
\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}} \right)
\right]
</math>。

==引用==
{{reflist}}

==参见==
*[[坐标系]]
*[[曲线坐标系]]
*[[斜交坐标系]]（度規張量有非對角項目）
*[[在圆柱和球坐标系中的del]]

== 參考文獻 ==
* Korn GA and Korn TM. (1961) ''Mathematical Handbook for Scientists and Engineers'', McGraw-Hill, pp. 164-182。

* Morse PM and Feshbach H. (1953) ''Methods of Theoretical Physics'', McGraw-Hill, pp. 494-523, 655-666。

* Margenau H. and Murphy GM. (1956) ''The Mathematics of Physics and Chemistry'', 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172-192。

{{正交坐標系}}

[[Category:坐標系|Z]]