查看“︁正交多項式”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
}}
[[函數]]<math>W(x)</math>若在[[區間]](a,b)可積，且<math>W(x) \ge 0</math>，則可作為權函數。

對於一個多項式的序列<math>{f_i}</math>和權函數<math>W(x)</math>，定義內積
<math>: \langle f_m, f_n \rangle=\int_{a}^{b} f_m(x) f_n(x)\,W(x)\,dx</math>

若<math>n \ne m</math>，<math>\langle f_m, f_n \rangle = 0</math>，這些多項式則稱為'''正交多項式'''（{{lang-en|Orthogonal Polynomials}}）。

若<math>{f_i}</math>除了[[正交]]之外，更有<math>\langle f_n, f_n \rangle=1</math>的話，則稱為'''規範正交多項式'''。

==例子==
若權函數為1，區間為(-1,1)，<math>f_0(x) = 1</math>，對應的正交多項式有：

:<math>f_1(x) = x\,</math>

:<math>f_2(x) = \frac{3x^2-1}{2}\,</math>

:<math>f_3(x) = \frac{5x^3-3x}{2}\,</math>

:<math>f_4(x) = \frac{35x^4-30x^2+3}{8}\,</math>

:::<math>\vdots</math>

它們稱為[[勒讓德多項式]]。

對於任意向量空間的基，[[Gram-Schmidt正交化]]可以求出一個正交基。對於多項式空間的基，正交化的結果便是勒讓德多項式。

==常見的正交多項式==
* [[切比雪夫多項式]]
* [[雅可比多項式]]
* [[埃尔米特多项式]]
* [[拉盖尔多项式]]
* [[蓋根鮑爾多項式]]
* [[哈恩多项式]] 
*  [[拉卡多项式]]
*  [[查理耶多项式]]
*  [[连续双哈恩多项式]]
*  [[贝特曼多项式]]
*  [[双重哈恩多项式]]
* [[小q-雅可比多项式]]
*  [[本德尔·邓恩多项式]]
*  [[威尔逊多项式]]
* [[Q哈恩多项式]] 
* [[大q-雅可比多项式]]
*  [[Q-拉盖尔多项式]]
* [[Q拉卡多项式]] 
*  [[梅西纳多项式]]
*  [[克拉夫楚克多项式]] 
* [[梅西纳-珀拉泽克多项式]]
*  [[连续哈恩多项式]]
*  [[连续q-哈恩多项式]]
*   [[Q梅西纳多项式]]
*   [[阿斯克以-威尔逊多项式]]
*   [[Q克拉夫楚克多项式]]
*  [[大q-拉盖尔多项式]] 
* [[双Q克拉夫楚克多项式]] 
*  [[Q查理耶多项式]] 
*  [[泽尔尼克多项式]]
*  [[罗杰斯-斯泽格多项式]] 
*  [[戈特利布多项式]]
* 

==性質==
*遞歸方程

<math>f_{n+1} = (a_n + x b_n)f_n - c_n f_{n-1}</math>

其中 <math>b_n = \frac{k_{n+1}}{k_n} ,\qquad a_n = b_n ( \frac{k_{n+1}'}{k_{n+1}} -  \frac{k_{n}'}{k_{n}}), \qquad c_n = b_n ( \frac{k_{n-1} h_n}{k_{n} h_{n-1}} ), \qquad h_n = \langle f_n,f_n \rangle</math>
*實根：所有正交多項式系中的正交多項式都有<math>n</math>個實[[根 (数学)|根]]，這些根是相異且在正交區間之內。
*[[奇函数与偶函数|奇偶性]]：若<math>W(x)</math>為偶函數，且正交區間為<math>(-a,a)</math>，則有<math>f_n(-x) = (-1)^n f_n(x)</math>。

==外部連結==
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4.  [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm chapter 22] {{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm |date=20090919135437 }}
* Vilmos Totik (2005). "[http://arxiv.org/abs/math.CA/0512424 Orthogonal Polynomials]". Surveys in Approximation Theory 1: 70-125.
* Ioana Dumitriu, Alan. Edelman, Gene Shuman[https://web.archive.org/web/20070927010017/http://www.myoops.org/twocw/mit/NR/rdonlyres/Mathematics/18-996Spring2004/268FCB68-B658-4FE6-AEC5-EBD7EC164323/0/mops.pdf Multivariate Orthogonal Polynomials]
* [http://eom.springer.de/O/o070340.htm Orthogonal polynomials] {{Wayback|url=http://eom.springer.de/O/o070340.htm |date=20110525221505 }} (Springer Online Reference Works)
{{authority control}}
[[Category:正交多項式]]