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'''歐拉-拉格朗日方程'''（{{lang-en|Euler-Lagrange equation}}）為[[變分法]]中的一條重要方程。它是一个二阶[[偏微分方程]]。它提供了求[[泛函]]的臨界值（平穩值）函數，換句話說也就是求此泛函在其定義域的[[臨界點]]的一個方法，與微積分差異的地方在於，泛函的定義域為函數空間而不是 <math>\mathbb{R}^n</math>。

该方程由瑞士数学家[[莱昂哈德·欧拉]]与意大利数学家[[约瑟夫·拉格朗日]]在1750年代提出。

==第一方程==
設<math>f=f(x,\ y,\ z)</math>，以及<math>f_y,\ f_z</math>在<math>[a,\ b]\times\mathbb{R}^2</math>中連續，並設泛函
:<math>J(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx</math>。

若<math>y\in C^1[a,\ b]</math>使得泛函<math>J(y)</math>取得局部平穩值，則對於所有的<math>x\in(a,\ b)</math>，

:<math>\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}f(x, y, y')=\frac{\partial}{\partial y}f(x, y, y')</math>。

推廣到多維的情況，記 
:<math>\vec{y}(x)=(y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x))</math>，
:<math>\vec{y}'(x)=(y'_1(x), y'_2(x), \ldots, y'_n(x))</math>，
: <math> f(x, \vec{y}, \vec{y}')=f(x, y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x), y'_1(x), y'_2(x), \ldots, y'_n(x))</math>。

若<math>\vec{y}'(x)\in(C^1[a, b])^n</math>使得泛函<math> J(\vec{y})=\int_a^bf(x, \vec{y}, \vec{y}')dx</math>取得局部平穩值，則在區間<math>(a,\ b)</math>內對於所有的<math> i=1,\ 2,\ \ldots,\ n</math>，皆有

:<math> \frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')=\frac{\partial}{\partial y_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')</math>。

==第二方程==
設<math>f=f(x,\ y,\ z)</math>，及<math>f_y,\ f_z</math>在<math>[a,\ b]\times\mathbb{R}^2</math>中連續，若<math>y\in C^1[a,\ b]</math>使得泛函<math>J(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx</math>取得局部平穩值，則存在一常數<math>C</math>，使得

:<math>f(x, y, y')-y'(x)f_{y\,'}(x, y, y')=\int_a^x f_x(x(t), y(t), y'(t))dt+C</math>。

==例子==
===例一：两点之间最短曲线===
設<math>(0,\ 0)</math>及<math>(a,\ b)</math>為直角坐標上的兩個固定點，欲求連接兩點之間的最短曲線。設<math>(x(t),\ y(t)) (t\in[0,\ 1])</math>，並且 
:<math>(x(0),\ y(0))=(0,\ 0),\ (x(1),\ y(1))=(a,\ b)</math>； 

這裏，<math>(x(t),\ y(t))\in C^1[0,\ 1]</math>為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為
:<math>L(y)=\int_0^1\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt</math>。

現設 
:<math>\vec{y}(t)=(x(t),\ y(t))</math>，
:<math>f(t,\ \vec{y}(t),\ \vec{y}'(t))=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}</math>，

取偏微分，則
:<math>f_{x'}=\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}</math>，
:<math>f_{y'}=\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}</math>，
:<math>f_x=f_y=0</math>。

若<math>y</math>使得<math>L(y)</math>取得局部平穩值，則<math>y</math>符合第一方程：

:<math>\frac{d}{dt}f_{x'}(t, y, y')=f_x(t, y, y')=0</math>，
:<math>\frac{d}{dt}f_{y'}(t, y, y')=f_y(t, y, y')=0</math>。

因此，
:<math>\frac{d}{dt}\frac{x'}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=0</math>，
:<math>\frac{d}{dt}\frac{y'}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=0</math>。

隨<math>t</math>積分，
:<math>\frac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}=C_0</math>，
:<math>\frac{y'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}=C_1</math>；

這裏，<math>C_0,\ C_1</math>為常數。重新編排，
:<math>x'=\sqrt{\frac{C_0^2}{1-C_0^2}}=r</math>，
:<math>y'=\sqrt{\frac{C_1^2}{1-C_1^2}}=s</math>。

再積分， 
:<math>x(t)=rt+r'</math>，
:<math>y(t)=st+s'</math>。

代入初始條件 
:<math>(x(0),\ y(0))=(0,\ 0)</math>， 
:<math>(x(1),\ y(1))=(a,\ b)</math>；

即可解得<math>(x(t),\ y(t))=(at,\ bt)</math>，是連接兩點的一條線段。

另經過其他的分析，可知此解為唯一解，並且該解使得<math>L(y)</math>取得極小值，所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。

===例二：两点之间最短曲线的另一种求解===
另一个例子同样是求定义在区间[''a'', ''b'']上的实值函数''y''满足''y''(''a'') = ''c''与''y''(''b'') = ''d''，并且沿着''y''所定义的[[曲线#曲线的长度|曲线]]的[[道路 (拓扑学) |道路]][[弧长|长度]]最短。
:<math>
s = \int_{a}^{b} \sqrt{1+y'^2} \mathrm{d}x,
</math>

被积函数为

:<math>
L(x,y,y')=\sqrt{1+y'^2}
</math>

''L''的偏导数为

:<math>
\frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y'} = \frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}}
</math>

以及

:<math>
\frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y} = 0.
</math>

把上面两式代入欧拉-拉格朗日方程，可以得到
:<math> 
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{y'(x)}{\sqrt{1 + (y'(x))^2}} &= 0 \\ 
\frac{y'(x)}{\sqrt{1 + (y'(x))^2}} &= C = \text{constant} \\
\Rightarrow y'(x)&= \frac{C}{\sqrt{1-C^2}} := A \\
\Rightarrow y(x) &= Ax + B
\end{align}
</math>
也就是说，该函数的一阶导数必须为常值，因此其[[函数图形|图像]]为[[直线]]。

==參閱==
*[[拉格朗日方程式]]
*[[變分法]]
*[[作用量]]
*[[哈密頓原理]]

==參考書籍==
*Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.

{{莱昂哈德·欧拉}}
{{約瑟夫·拉格朗日}}
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[[Category:偏微分方程]]
[[Category:变分法]]
[[Category:包含证明的条目]]
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