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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[File:Leonhard Euler.jpg|thumb|200px|莱昂哈德·欧拉]]
'''歐拉運動定律'''（{{lang|en|Euler's laws of motion}}）是[[牛頓運動定律]]的延伸，可以應用於多粒子系統運動或[[剛體運動]]，描述多粒子系統運動或剛體的[[平移運動]]、[[旋轉運動]]分別與其感受的[[力]]、[[力矩]]之間的關係。在[[艾薩克·牛頓]]發表牛頓運動定律之後超過半個世紀，於1750年，[[萊昂哈德·歐拉]]才成功地表述了這定律。<ref name=Beaty>{{cite book |author=Beatty, Millard F.|year=2006|title=Principles of engineering mechanics Volume 2 of Principles of Engineering Mechanics: Dynamics-The Analysis of Motion, |page=pp. 405| publisher =Springer|isbn=0387237046}}</ref><ref name=Bradley>{{cite book |author=Bradley, Robert E., Sandifer, Charles|year=2007|title=Leonhard Euler: life, work and legacy Volume 5 of Studies in the history and philosophy of mathematics |page=pp. 196| publisher =Elsevier|isbn=9780444527288}}</ref>

剛體也是一種多粒子系統，但理想剛體是一種有限尺寸，可以忽略形變的固體。不論是否感受到作用力，在剛體內部，點與點之間的距離都不會改變。

歐拉運動定律也可以加以延伸，應用於[[塑性變形|可變形體]]內任意部分的平移運動與旋轉運動。

==剛體==
===歐拉第一運動定律===
歐拉第一定律表明，從某[[慣性參考系]]觀測，施加於剛體的淨外力，等於剛體[[質量]]與[[質心]][[加速度]]的乘積。<ref name="Rao">{{cite book
| title = Dynamics of particles and rigid bodies
| url = https://archive.org/details/dynamicsparticle00raoa
| last = Rao
| first = Anil Vithala
| page = [https://archive.org/details/dynamicsparticle00raoa/page/n374 355]
| publisher = Cambridge University Press
| year = 2006
| ISBN = 978-0-521-85811-3}}</ref>歐拉第一定律以方程式表達為
:<math>\mathbf{F}^{(ext)}=m\mathbf {a}_{cm}</math> ；

其中，<math>\mathbf{F}^{(ext)}</math> 是剛體感受到的淨外力，<math>m</math> 、<math>\mathbf {a}_{cm}</math> 分別是剛體的質量、質心加速度。

剛體的[[平移運動]]等同於位於其質心、具有其質量的粒子，感受到同樣的淨外力，而呈現的運動。

====導引====
思考由 <math>n</math> 個粒子組成的多粒子系統，其質心位置 <math>\mathbf{r}_{cm}</math> 為
:<math>\mathbf{r}_{cm}\stackrel{def}{=} \frac{\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{r}_i}{m}</math> ;

其中，<math>m_i</math> 、<math>\mathbf{r}_i</math> 分別為第 <math>i</math> 個粒子的質量、[[位置]]，<math>m=\sum_{i = 1}^n m_i</math> 是系統的質量。

質心速度 <math>\mathbf{v}_{cm}</math> 為
:<math>\mathbf{v}_{cm}= \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_{cm}}{\mathrm{d}t}= \cfrac{\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{v}_i}{m}</math> ；

其中，<math>\mathbf{v}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_{i}}{\mathrm{d}t}</math> 是第 <math>i</math> 個粒子的[[速度]]。

質心加速度 <math>\mathbf{a}_{cm}</math> 為
:<math>\mathbf{a}_{cm}= \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_{cm}}{\mathrm{d}t}= \cfrac{\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{a}_i}{m}</math> ；

其中，<math>\mathbf{a}_i=\frac{\mathrm{d^2}\mathbf{r}_{i}}{\mathrm{d}t^2}</math> 是第 <math>i</math> 個粒子的[[加速度]]。

第 <math>i</math> 個粒子感受到的力 <math>\mathbf{F}_{i}</math> 為
:<math>\mathbf{F}_{i}=\mathbf{F}_i^{(ext)}+ \sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{F}_{ji}</math> ；
其中，<math>\mathbf{F}_i^{(ext)}</math> 是這粒子感受到的外力，<math>\mathbf{F}_{ji}</math> 是第 <math>j</math> 個粒子施加於第 <math>i</math> 個粒子的內力。

系統感受到的淨力 <math>\mathbf{F}</math> 是所有粒子感受到的力的向量和：
:<math>\mathbf{F}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_{i}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_i^{(ext)}+ \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1,
j\ne i}^n \mathbf{F}_{ji}</math> 。

根據[[牛頓第三定律]]，內力與其反作用力的關係為
:<math>\mathbf{F}_{ji}=-\mathbf{F}_{ji}</math> 。

所以，所有粒子彼此施加於對方的內力的向量和為零，淨力等於所有外力的向量和 （淨外力 <math>\mathbf{F}^{(ext)}</math> ）：
:<math>\mathbf{F}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_i^{(ext)}=\mathbf{F}^{(ext)}</math> 。

根據[[牛頓第二定律]]，第 <math>i</math> 個粒子感受到的力 <math>\mathbf{F}_{i}</math> 與這粒子的加速度之間的關係為
:<math>\mathbf{F}_{i}=m_i \mathbf{a}_i</math> 。

總和所有粒子所感受到的力，
:<math>\mathbf{F}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_{i}=\sum_{i = 1}m_i \mathbf{a}_i=m\mathbf{a}_{cm}</math> 。

所以，淨外力 <math>\mathbf{F}^{(ext)}</math> 與質心加速度的關係為
:<math>\mathbf{F}^{(ext)}=m\mathbf{a}_{cm}</math> 。

====動量守恆定律====
多粒子系統的動量 <math>\mathbf{p}</math> 是組成這系統的所有粒子的動量的向量和：
:<math>\mathbf{p}= \sum_{i = 1}^n \mathbf{p}_i =\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{v}_i=m\mathbf{v}_{cm}</math> ；

其中，<math>\mathbf{p}_i</math> 是第 <math>i</math> 個粒子的動量。

歐拉第一定律又可以表達為
:<math>\mathbf{F}^{(ext)}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}</math> 。

假設淨外力為零，則系統的動量守恆。

===歐拉第二運動定律===
歐拉第二定律表明，設定某[[慣性參考系]]的固定點O（例如，[[原點]]）為參考點，施加於剛體的淨外[[力矩]]，等於[[角動量]]的時間變化率。歐拉第二定律以方程式表達為
:<math>\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}</math> ；

其中，<math>\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)} </math> 是對於點O淨外力矩，<math>\mathbf{L}_O</math> 是對於點O的角動量。

====導引====
思考由 <math>n</math> 個粒子組成的多粒子系統。對於點O，第 <math>i</math> 個粒子的角動量 <math>\mathbf{L}_i </math> 為
:<math>\mathbf{L}_i =\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i=\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{v}_i</math> 。

<math>\mathbf{L}_i </math> 對於時間的導數為
:<math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}
=\frac{\mathrm{d}(\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{v}_i)}{\mathrm{d}t}
=\mathbf{v}_i\times m_i\mathbf{v}_i+\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{a}_i
=\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{a}_i</math> 。

根據[[牛頓第二定律]]，施加於第 <math>i</math> 個粒子的力 <math>\mathbf{F}_{i}</math> 是這粒子的質量與加速度的乘積。所以，<math>\mathbf{L}_i </math> 對於時間的導數為
:<math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}
=\mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_i</math> 。

第 <math>i</math> 個粒子所感受到的淨力矩 <math>\boldsymbol{\tau}_i </math> 為 <math>\boldsymbol{\tau}_i=\mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_i</math> 。所以，<math>\boldsymbol{\tau}_i </math> 與 <math>\mathbf{L}_i </math> 的關係為
:<math>\boldsymbol{\tau}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}</math> 。

總和所有粒子所感受到的淨力矩，系統所感受到的淨力矩 <math>\boldsymbol{\tau}_O</math> 與其角動量 <math>\mathbf{L}_O</math> 的關係為
:<math>\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\tau}_i=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum_{i = 1}^n \mathbf{L}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}</math> 。

第 <math>i</math> 個粒子所感受到的淨力 <math>\mathbf{F}_i</math> 為
:<math>\mathbf{F}_i=\mathbf{F}_i^{(ext)} +\sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{F}_{ji}</math> 。

第 <math>i</math> 個粒子所感受到的淨力矩 <math>\boldsymbol{\tau}_i </math> 為
:<math>\boldsymbol{\tau}_i=\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i=\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{(ext)} +\sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}</math> 。

物體感受到的淨力矩 <math>\boldsymbol{\tau}_O</math> 為：
:<math>\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\tau}_i =\sum_{i = 1}^n\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{(ext)} +\sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}</math> 。

應用[[牛頓第三定律]]，
:<math>\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}+\mathbf{r}_j \times\mathbf{F}_{ji} =\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}-\mathbf{r}_j \times\mathbf{F}_{ji}=(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)\times\mathbf{F}_{ji}=\mathbf{r}_{ij}\times\mathbf{F}_{ji}</math> ；

其中，<math>\mathbf{r}_{ij}=\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j</math> 是從粒子 <math>\mathbf{r}_j</math> 到粒子 <math>\mathbf{r}_i</math> 的位移向量。

假設這系統的粒子遵守[[牛頓第三定律#作用與反作用定律的兩種版本|強版牛頓第三定律]]，即粒子運動為經典運動，速度超小於[[光速]]，則<math>\mathbf{r}_{ij}</math> 與 <math>\mathbf{F}_{ji}</math> 同向，[[叉積]]為零。那麼，物體感受到的淨力矩是所有外力矩的向量和 <math>\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)}</math> ：
:<math>\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{(ext)}=\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)}</math> 。

這樣，可以得到歐拉第二定律方程式
:<math>\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}</math> 。

假設施加於系統的淨外力矩為零，則系統的角動量的時間變化率為零，系統的角動量守恆。

====相對於質心的歐拉第二運動定律====
所有粒子所感受到的淨力矩的向量和為
:<math>\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n\boldsymbol{\tau}_i=\sum_{i = 1}^n\mathbf{r}_i\times(m_i\mathbf{a}_i)=\sum_{i = 1}^n(\mathbf{r}_{cm}+\mathbf{r}'_i)\times(m_i(\mathbf{a}_{cm}+\mathbf{a}'_i))</math> ；

其中，<math>\mathbf{r}'_{i}=\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{cm}</math> 、<math>\mathbf{a}'_{i}=\mathbf{a}_{i}-\mathbf{a}_{cm}</math> 分別是第 <math>i</math> 個粒子相對於質心的相對位移與相對加速度。

注意到所有粒子的相對位移與相對加速度，其向量和分別為零，所以，
:<math>\boldsymbol{\tau}_O=\mathbf{r}_{cm}\times m\mathbf{a}_{cm}+
\sum_{i = 1}^n \mathbf{r}'_i\times m_i\mathbf{a}'_i</math> 。

現在，假設將質心設定為參考點，則 <math>\mathbf{r}_{cm}=0</math> ，方程式變為
:<math>\boldsymbol{\tau}_{cm}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{r}'_i\times m_i\mathbf{a}'_i</math> 。

以質心為參考點，角動量 <math>\mathbf{L}_{cm}</math> 為
:<math>\mathbf{L}_{cm}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{r}'_i\times m_i\mathbf{v}'_i</math> 。

所以，不論質心參考系是否為慣性參考系（即不論質心是否呈加速度運動），以質心為參考點，淨外力矩等於角動量的時間變化率：
:<math>\boldsymbol{\tau}_{cm}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_{cm}}{\mathrm{d}t}</math> 。

==可變形體==
在可變形體內部任意位置的內力密度不一定一樣，也就是說，其內部存在有[[應力]]分佈。這內部的內力的變化是由牛頓第二定律主控。通常，牛頓第二定律是應用於計算質點或粒子的動力運動，但在[[連續介質力學]]裏，被加以延伸後，可以應用於計算具有連續分佈質量的物體的運動行為。假設將物體模型化為由一群離散粒子組構而成，每一個粒子的運動都遵守牛頓第二定律，則可以推導出歐拉運動定律。不論如何，歐拉運動定律也可以直接視為專門描述大塊物體運動的公理，與物體結構無關。<ref name=Lubliner>{{Cite book
 |last=Lubliner 
 |first=Jacob 
 |title=Plasticity Theory (Revised Edition) 
 |publisher=Dover Publications 
 |year=2008 
 |pages=pp. 27-28 
 |url=http://www.ce.berkeley.edu/~coby/plas/pdf/book.pdf 
 |isbn=0486462900 
 |deadurl=yes 
 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20100331022415/http://www.ce.berkeley.edu/~coby/plas/pdf/book.pdf 
 |archivedate=2010-03-31 
}}</ref>

在[[塑性力学]]（plasticity theory）裏，施加於一個連續物體B的力可以分類為兩種：「長程力」與「短程力」。長程力作用於整個物體的每一部分，稱為[[徹體力]]（{{lang|en|body force}}），而短程力只能作用於物體表面，稱為[[接觸力]]（{{lang|en|contact force}}）。這樣，施加於連續物體的淨力 <math>\mathbf {F}</math> 分為淨徹體力 <math>\mathbf {F}_b</math> 、淨接觸力 <math>\mathbf {F}_t</math> ：
:<math>\mathbf{F}_b=\int_\mathbb{V}\mathbf{b}\,\mathrm{d}m=\int_\mathbb{V} \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V</math> 、
:<math>\mathbf{F}_t=\int_{\mathbb{S}}\mathbf{t}\,\mathrm{d}S</math> ；

其中，<math>\mathbf{b}</math> 是徹體力場（[[量綱]]為力每單位質量），<math>\mathrm{d}m</math> 是微小質量元素，<math>\rho</math> 是質量密度，<math>\mathrm{d}V</math> 是微小體元素，<math>\mathbb{V}</math> 是積分體區域，<math>\mathbf{t}</math> 是[[表面曳力]]（{{lang|en|surface traction}}）密度，<math>\mathrm{d}S</math> 是微小面元素，<math>\mathbb{S}</math> 是積分曲面。

由於徹體力與接觸力施加於物體，造成了以某設定點為參考點的對應力矩。這樣，對於原點的淨力矩 <math>\mathbf{L}</math> 分為淨徹體力矩 <math>\mathbf {L}_b</math> 、淨接觸力矩 <math>\mathbf {L}_t</math> ：
:<math>\mathbf {L}_b=\int_\mathbb{V} \mathbf{r}\times \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V</math> 、
:<math>\mathbf {L}_t= \int_\mathbb{S} \mathbf{r}\times \mathbf{t}\,\mathrm{d}S</math> ；

其中，<math>\mathbf{r}</math> 是微小體元素或微小面元素的位置。

歐拉第一定律（「力平衡定律」）表明，從某慣性參考系觀測，施加於連續物體內部任意部分的淨外力等於淨動量的時間變化率：
:<math>\mathbf{F}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}</math> 。

也就是說，
:<math>\int_\mathbb{V} \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V+\int_{\mathbb{S}}\mathbf{t}\,\mathrm{d}S
=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\mathbb{V} \rho\mathbf{v}\,\mathrm{d}V</math> ；

其中，<math>\mathbf{v}</math> 是微小體元素的速度。

歐拉第二定律（「角動量平衡定律」）表明，從某慣性參考系觀測，施加於連續物體內部任意部分的淨力矩等於淨角動量的時間變化率：
:<math>\boldsymbol{\tau}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}</math> 。

也就是說，
:<math>\int_\mathbb{V} \mathbf{r}\times \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V+ \int_\mathbb{S} \mathbf{r}\times \mathbf{t}\,\mathrm{d}S=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\mathbb{V} \mathbf{r}\times \rho\mathbf{v}\,\mathrm{d}V</math> 。

==參閱==
*[[歐拉方程 (剛體運動)]]
*[[歐拉旋轉定理]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist|30em}}

[[Category:基本物理概念]]
[[Category:經典力學]]
[[Category:連續介質力學]]
[[Category:剛體]]