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[[File:Triangle.EulerLine.svg|欧拉线|center]]

在[[平面几何]]中，'''欧拉线'''，或稱'''尤拉線'''（图中的红线）是指过[[三角形]]的[[垂心]]（蓝）、[[外心]]（绿）、[[几何中心#三角形的中心|重心]]（黄）和[[九点圆]]圆心（红点）的一条[[直线]]。'''[[莱昂哈德·欧拉]]，'''也稱'''[[尤拉]]，'''证明了在[[任意三角形]]中，以上四点[[共线]]。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。注意[[內心]]一般不在歐拉線上，除了[[等腰三角形]]外。

== 证明 ==

[[File:Euler Line1.PNG]]

如图<math>H,G,O</math>分别是<math>{\triangle}ABC</math>的垂心，重心，外心。

設<math>D</math>為直線<math>BO</math>和<math>{\triangle}ABC</math>外接圆的交點，並连结<math>AH,AD,CD,CH</math>。

（1）
<math>{\because\quad}BD</math>是直徑，<math>{\therefore\quad}CD{\perp}BC</math>且<math>AD{\perp}AB</math>。

又<math>H</math>是垂心，<math>{\therefore\quad}AH{\perp}BC</math>且<math>CH{\perp}AB</math>。

<math>{\therefore\quad}CD // AH</math>，<math>AD // CH</math>。

<math>ADCH</math>为平行四边形。

-><math>AH=DC</math>

又<math>O,\;M</math>分别是<math>BD,\;CB</math>的中点，

<math>{\therefore\quad}DC=2OM</math>，
<math>AH=2OM</math>

（2）
作<math>BC</math>边上的中线<math>AM,</math>连结<math>OM,\;OH</math>

设<math>OH</math>交<math>AM</math>于点<math>G'</math>

<math>{\because\quad}OM{\perp}BC,\;{\triangle}AHG'{\sim\triangle}MOG',\;AH=DC=2OM</math>，

<math>{\therefore\quad}AG'=2G'M</math>，

<math>{\therefore\quad}G'</math>即<math>\triangle ABC</math>的重心<math>G</math>

<math>\therefore\quad\triangle ABC</math>的垂心<math>H,</math>重心<math>G,</math>外心<math>O</math>三点共线<math>,</math>直线<math>HGO</math>即欧拉线

== 推论 ==
[[九点圆]]的圆心也在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点

[[File:Triangle_cercle_eulerA.JPG]]

如图，H、G、Ω分别是△ABC的垂心、重心、外心，三角形的三边中点I <sub>i</sub>，三高的垂足H<sub>i</sub>，和[[頂點 (幾何)|顶点]]到垂心的三条线段的中点J <sub>i</sub>

令HΩ和J<sub>1</sub>I<sub>1</sub>的交点为K，∵BΩ=CΩ，BI<sub>1</sub>=CI<sub>1</sub>，∴ΩI<sub>1</sub>⊥BC，又∵AH<sub>1</sub>⊥BC，∴ΩI<sub>1</sub>∥AH<sub>1</sub>。

∵∠GΩI<sub>1</sub>=∠AHG，∠GAH=∠GI<sub>1</sub>Ω，∴△AGH∽△GΩI<sub>1</sub>。∵AG=2GI<sub>1</sub>，∴AH=2ΩI<sub>1</sub>，即ΩI<sub>1</sub>=J<sub>1</sub>H。

∵ΩI<sub>1</sub>∥AH<sub>1</sub>， J<sub>1</sub>H=ΩI<sub>1</sub> ∴J<sub>1</sub>K=KI<sub>1</sub>, HK = KΩ。

同理J<sub>2</sub>K=KI<sub>2</sub>， J<sub>3</sub>K=KI<sub>3</sub>。 可知K为九点圆圆心。

∵点K在HΩ上，HK = KΩ

∴九点圆圆心在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点。

== 参考资料 ==
# {{cite book | language = | author= | coauthors = | title= 数学题解辞典·平面几何| url= | date= | location= | publisher= 上海辞书出版社| id= | isbn= | pages= }}

== 外部链接 ==

* [http://www.cut-the-knot.org/triangle/altEuler.shtml Altitudes and the Euler Line] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/triangle/altEuler.shtml |date=20210115153959 }}
* [http://www.cut-the-knot.org/triangle/EulerLine.shtml Euler Line and 9-Point Circle] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/triangle/EulerLine.shtml |date=20210108191306 }}

[[Category:三角形几何]]
[[Category:几何定理]]