查看“︁欧米加常数”︁的源代码

{{Infobox number
| name=欧米加常数
| nav=no
| is integer = no
| number={{math|Ω}}
| value=<math>\Omega\approx</math>0.5671432904...<br/>''W''(1)，''W''是[[朗伯W函数]]
| symbol=<math>\Omega</math>
| define=<math>\Omega e^\Omega = 1</math>
| type=[[無理數]]<br/>[[超越數]]
| root of=<math>xe^x - 1 = 0</math>
| OEIS=A030178
| basedata = {{Infobox number/base
| 二進制 = {{FractionalGaps|{{進制|2|0.56714329040978387299996866221035|precision=24}}|4|…}}
| 十進位 = {{FractionalGaps|0.567143290409783872999968|4|…}}
| 十六進位 = {{FractionalGaps|{{進制|16|0.56714329040978387299996866221035|precision=24}}|4|…}}}}
}}
'''欧米加常数'''是一个[[数学常数]]，定义为： 

:<math>\Omega\,\exp(\Omega)=1.\,</math>

它是''W''(1)的值，其中''W''是[[朗伯W函数]]。

&Omega;的值大约为0.5671432904097838729999686622 {{OEIS|id=A030178}}。它具有以下的性质： 

:<math> e^{-\Omega}=\Omega,\,</math>

或

:<math> \ln (1/\Omega) = \Omega.</math>

我们可以用[[迭代]]的方法来计算&Omega;，从&Omega;<sub>0</sub>开始，用下面的数列进行迭代：

:<math> \Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}.\,</math> 

当''n''&rarr;&infin;时，这个数列[[收敛]]于&Omega;。

==无理数和超越数==

我们可以用[[e (数学常数)|e]]是[[超越数]]的事实来证明&Omega;是[[无理数]]。如果&Omega;是有理数，则存在整数''p''和''q''，使得

: <math> \frac{p}{q} = \Omega </math>

所以

: <math> 1 = \frac{p e^{\frac{p}{q}}}{q} </math>

: <math> e = \sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}} </math>

这样，''e''就是''p''次[[代数数]]。但是，''e''实际上是超越数，所以&Omega;一定是无理数。

&Omega;实际上也是一个[[超越数]]，这可以由[[林德曼-魏尔斯特拉斯定理]]直接推出。如果&Omega;是代数数，exp(&Omega;)将会是超越数，exp<sup>&minus;1</sup>(&Omega;)也是超越数。但这与它是代数数的假设矛盾。

==参见==

* [[朗伯W函数]]

==参考文献==
*Michon, G. P. "Final Answers: Numerical Constants." http://www.numericana.com/answer/constants.htm#omega {{Wayback|url=http://www.numericana.com/answer/constants.htm#omega |date=20190119141655 }}. 
*Moll, V. H. "Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals." MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. https://web.archive.org/web/20080402045620/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf. 

==外部链接==
* {{MathWorld|urlname=OmegaConstant|title=欧米加常数}}

{{無理數導航}}

[[Category:數學常數|Omega]]
[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:实数超越数]]