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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{Distinguish|欧拉公式|欧拉定理 (数论)}}[[File:Euler theorem2.svg|thumb|right|upright=1.25|<math>d=|IO| =\sqrt{R (R-2r)}</math>]]
在平面[[几何学]]中的'''欧拉定理'''是说，[[三角形]]的[[外心]]与[[内心]]之间的[[距离]]<math>d</math> 可表示为

:<math> d^2=R (R-2r) \,</math>

其中<math>R</math>为[[外接圆]][[半径]]，<math>r</math>为[[内切圆]]半径。

从欧拉定理可推出'''欧拉不等式''' (當三角形等邊時，等號成立)：

:<math>R</math>&nbsp;≥&nbsp;<math>2r.</math>

== 证明 ==
[[File:Leonhard Paul Euler.jpg|thumb]]
(1)當<math>d=0</math>時，表示外心<math>O</math>與內心<math>I</math>重合，此時易證三角形<math>\displaystyle ABC</math>為正三角形，且<math>R=2r</math>，因此<math>\displaystyle  d^2=R (R-2r) </math>。

(2)當<math>d</math>大於<math>0</math>時，請參考右下圖：

(a)设三角形<math>ABC</math>的外心为<math>O</math>，内心为<math>I</math>，延长<math>AI</math>交外接圆于<math>L</math>，则<math>L</math>为弧<math>BC</math>的中点。连<math>LO</math>延长交外接圆于<math>M</math>，过<math>I</math>作<math>ID</math>垂直于<math>AB</math>，<math>D</math>为垂足，则<math>ID = r</math>。易证三角形<math>\displaystyle ADI</math>与三角形<math>\displaystyle MBL</math>相似，故<math>\frac{ID}{BL} =\frac{AI}{ML}</math>，即<math>ID \times ML = AI \times BL</math>。所以<math>2Rr = AI \times BL</math>。

(b)连接<math>\displaystyle BI</math>，因

:<math>\angle BIL =\angle BAI+\angle ABI=\frac{\angle BAC}{2} + \frac{\angle ABC}{2}</math>，

:<math>\angle IBL = \angle IBC + \angle CBL = \frac{\angle ABC}{2} + \frac{\angle BAC}{2}</math>，

所以<math>\angle  BIL = \angle  IBL</math>，有<math>\displaystyle BL = IL</math>，由(a)的結論知<math>AI \cdot IL = 2Rr</math>。

(c)設<math>\displaystyle OI</math>延长线交外接圆于<math>\displaystyle P,\;\displaystyle Q</math> 两点，则<math>PI \cdot QI = AI \cdot IL = 2Rr</math>，所以<math>\displaystyle (R+d)(R-d) = 2Rr</math>，即<math>\displaystyle  d^2=R (R-2r) </math>。

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