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[[数论]]中，'''欧拉乘积'''（{{lang-en|Euler product}}）是指[[狄利克雷级数]]可表示为一指标为[[素数]]的[[无穷乘积]]。这一乘积以瑞士数学家[[莱昂哈德·欧拉]]的名字命名，他证明了[[黎曼ζ函数]]可表示为此无穷乘积的形式。

== 定义 ==
假设<math>a</math>为一[[积性函数]]，则狄利克雷级数

:<math>\sum_{n} a(n)n^{-s}\,</math>

等于欧拉乘积

:<math>\prod_{p} P(p, s)\,</math>

其中，乘积对所有素数<math>p</math>进行，<math>P(p, s)</math>则可表示为

:<math>1+a(p)p^{-s} + a(p^2)p^{-2s} + \cdots .</math>

这可以看作形式[[母函数]]，形式欧拉乘积展开的存在性与<math>a(n)</math>为积性函数两者互为充要条件。

<math>a(n)</math>为[[完全积性函数]]时可得到一重要的特例。此时<math>P(p, s)</math>为[[等比级数]]，有

:<math>P(p, s)=\frac{1}{1-a(p)p^{-s}},</math>

当<math>a(n) = 1</math>时即为黎曼ζ函数，更一般的情形则是[[狄利克雷特征]]。

== 参考文献 ==
* G. Polya, ''Induction and Analogy in Mathematics Volume 1'' Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 ''(A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)''
* {{Citation
| last=Apostol
| first=Tom M.
| author-link=Tom M. Apostol
| title=Introduction to analytic number theory
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| location=New York-Heidelberg
| series=Undergraduate Texts in Mathematics
| isbn=978-0-387-90163-3
| mr = 0434929 | zbl = 0335.10001 
| year=1976}} ''(Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)''
* G.H. Hardy and E.M. Wright, ''An introduction to the theory of numbers'', 5th ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 ''(Chapter 17 gives further examples.)''
* George E. Andrews, Bruce C. Berndt, ''Ramanujan's Lost Notebook: Part I'', Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X
* G. Niklasch, ''Some number theoretical constants: 1000-digit values"

[[Category:数论]]
[[Category:Ζ函數與L函數]]