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{{Unreferenced|time=2024-11-13T02:48:06+00:00}}
{{NoteTA|G1=物理學}}
{{量子力学}}

在[[量子力學]]裏，'''機率流'''，又稱為'''機率通量'''，是描述[[機率幅|機率密度]]流動的物理量。假若將機率密度想像為非均勻流體，那麼，機率流就是這流體的流率（機率密度乘以速度）。

==定義==<!--link 連續性方程式-->
在[[量子力學]]裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為 <math>\Psi(x,t)</math> 。定義機率流 <math>\mathbf{J}</math> 為
:<math>\mathbf{J}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^*\right) = \frac\hbar m \mbox{Im}(\Psi^*\boldsymbol{\nabla}\Psi)</math> ；

其中，<math>\hbar</math> 是[[約化普朗克常數]]，<math>m</math> 是質量，<math> \Psi^*</math> 是 <math> \Psi</math> 是[[共軛複數]]，<math> \mbox{Im}()</math> 是取括弧內項目的虛部。

===連續方程式與機率保守定律===
機率流滿足量子力學的[[連續方程式]]：
:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} = 0</math> ；

其中，<math>\rho = |\Psi|^2</math> 是機率密度。

應用[[高斯公式]]，等價地以積分方程式表示，
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \mathrm{d}^3{r} + \oint_\mathbb{S}\mathbf{J}\cdot {\mathrm{d}\mathbf{a}} = 0</math> ；<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span>

其中，<math>\mathbb{V}</math> 是任意三維區域，<math>\mathbb{S}</math> 是 <math>\mathbb{V}</math> 的邊界曲面。

這就是量子力學'''機率守恆定律'''的方程式。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項目（不包括對於時間的偏微分），即是測量粒子位置時，粒子在 <math>\mathbb{V}</math> 內的機率。第二個[[曲面積分]]是機率流出 <math>\mathbb{V}</math> 的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域 <math>\mathbb{V}</math> 內的機率對於時間的微分，加上機率流出三維區域 <math>\mathbb{V}</math> 的通量，兩者的總和等於零。

===連續方程式導引===
測量粒子在三維區域 <math>\mathbb{V}</math> 內的機率 <math>P</math> 是
:<math>P= \int_\mathbb{V} \rho\,\mathrm{d}^3\mathbf{r} = \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3\mathbf{r}</math> 。

機率對於時間的導數是
:<math>\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3{r} = \int_\mathbb{V} \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t}\Psi^* + \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \right) \,\mathrm{d}^3{r}</math> ；<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span>

假設 <math>\Psi</math> 的[[含時薛丁格方程式]]為
:<math>i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + U\Psi</math> ；

其中，<math>U(\mathbf{r})</math> 是[[位勢]]。

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到
:<math>\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \frac{\hbar}{2mi}  \left(\Psi^* \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Psi^* \right)\,\mathrm{d}^3{r}</math> 。

應用一則[[向量恆等式]]，可以得到
:<math>\boldsymbol{\nabla} \cdot \left(\Psi^*\boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right) = \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi + \Psi^* \nabla^2 \Psi - \boldsymbol{\nabla} \Psi \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi^* - \Psi \nabla^2 \Psi^*</math> 。

這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷，將抵銷後的方程式代入，
:<math>\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left[\frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right)\right]\,\mathrm{d}^3{r}</math> 。

將機率密度方程式與機率流定義式代入，
:<math>\int_\mathbb{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,\mathrm{d}^3{r}= - \int_\mathbb{V} \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot\mathbf{J}\right)\,\mathrm{d}^3{r}</math> 。

這相等式對於任意三維區域 <math>\mathbb{V}</math> 都成立，所以，被積項目在任何位置都必須等於零：
:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J} = 0</math> 。

==範例==
===平面波===
設定一個粒子的波函數 <math>\Psi </math> 為三維空間的[[平面波]]，
:<math>\Psi(\mathbf{r},\,t)=A e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} e^{i \omega t}</math> ；

其中，<math>A</math> 是[[振幅]]常數，<math>\mathbf{k}</math> 是[[波數]]，<math>\mathbf{r}</math> 是位置，<math>\omega</math> 是[[角頻率]]，<math>t</math> 是時間。

<math>\Psi </math> 的機率流是
:<math>\mathbf{J}= \frac{\hbar}{2mi} |A|^2 \left( e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \boldsymbol{\nabla} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} - e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \boldsymbol{\nabla} e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\right) = |A|^2 \frac{\hbar\mathbf{k}}{m}</math> 。

這只是振幅的平方乘以粒子的速度 <math>\mathbf{v} = \frac{\mathbf{p}}{m} = \frac{\hbar\mathbf{k}}{m}</math> 。

請注意，雖然這平面波是[[定態]]，在每一個的地點，<math>\frac{d|\Psi|^2}{dt} = 0</math> ，但是機率流仍舊不等於 <math>0</math> 。因此可以推論，雖然機率密度不顯性地跟時間有關，粒子仍可能移動於空間中。

===盒中粒子===
[[File:Infinite potential well.svg|right|250px|thumb|一維盒子位勢，即一個無限深方形阱，阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。]]
思考一維[[盒中粒子]]問題，能級為 <math>E_n</math> 的[[本徵態|本徵]]波函數 <math>\Psi_n</math> 是
:<math>\Psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{n\pi}{L} x \right),\qquad 0 \le x \le L</math> ；

其中，<math>L</math> 是一維盒子的寬度，兩扇盒壁的位置分別在 <math>x=0</math> 與 <math>x=L</math> 。

由於 <math>\Psi_n = \Psi_n^*</math> ，其機率流為
:<math>J_n = \frac{\hbar}{2mi}\left( \Psi_n^* \frac{\partial \Psi_n}{\partial x} - \Psi_n \frac{\partial \Psi_n^*}{\partial x} \right) = 0</math> 。

==參閱==
*[[階梯位勢]]
*[[透射係數]]

[[Category:量子力學|J]]