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'''模糊集'''是[[模糊数学]]上的一个基本概念，是[[数学]]上普通[[集合 (数学)|集合]]的扩展。
== 定义 ==
给定一个论域<math>U</math> ，那么从<math>U</math>到单位区间<math>[0,1]</math>的一个映射<math> \mu_{A}: U \mapsto [0,1] </math>称为<math>U</math>上的一个'''模糊集'''，或<math>U</math>的一个'''模糊子集'''<ref>要注意，严格地说，模糊集或子集是映射所确定的'''序对集'''，但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定，因而我们不区分映射和映射所确定的序对集，而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。</ref>。
==表示==
模糊集可以记为<math>A</math>。映射（函数）<math>\mu_A(\cdot)</math>或简记为<math>A(\cdot)</math>叫做模糊集<math>A</math>的[[隶属函数]]。对于每个<math>x\in U</math>， <math>\mu_A(x)</math>叫做元素<math>x</math>对模糊集<math>A</math>的'''隶属度'''。

模糊集的常用表示法有下述几种：
# 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
# Zadeh记法，例如<math> A={1\over x_1}+{0.5\over x_2}+{0.72\over x_3}+{0\over x_4}</math>。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。
# 序偶法，例如<math> A=\{(x_1,1),(x_2,0.5),(x_3,0.72),(x_4,0)\}</math>，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。
# 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如<math>A=(1,0.5,0.72,0)</math>。

== 和传统集合的关系 ==
和傳統的[[集合 (数学)|集合]]一樣，'''模糊集'''也有它的元素，但可以談論每個元素屬於該模糊集的'''程度'''，其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由[[盧菲特·澤德]]（1965）所引進的，是經典[[集合論]]的一種推廣<ref>L. A. Zadeh (1965) [http://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdf "Fuzzy sets"] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071127005930/http://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdf |date=2007-11-27 }}. ''Information and Control'' 8 (3) 338–353.</ref>。在經典的集合論中，所謂的[[二值原理|二分條件]]規定每個元素只能'''屬於'''或'''不屬於'''某個集合（因此模糊集不是集合）；可以說，每個元素對每個集合的'''歸屬性'''（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個[[歸屬函數]]（membership function），其值允許取[[閉區間]]<math>[0,1]</math>（[[單位區間]]）中的任何實數，用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集<math>A</math>的歸屬函數為<math>M</math> ，而<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>為三個元素；如果<math>M(a)=1</math>，<math>M(b)=0</math>，<math>M(c)=\frac{1}{2}</math>，則可以說 「<math>a</math>完全屬於<math>A</math>」，「<math>b</math>完全不屬於<math>A</math>」，「<math>c</math>對<math>A</math>的歸屬度為<math>\frac{1}{2}</math>」（注意没有說「''<math>c</math>''有一半屬於''<math>A</math>''」，因為尚未規定<math>\frac{1}{2}</math>的歸屬度具有甚麼特殊含義）。作為特例，當歸屬函數的值只能取 0 或 1 時，就得到了傳統集合論常用的[[指示函数]]（indicator function）<ref>D. Dubois and H. Prade (1988) Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York.</ref>。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」（crisp set）。

=== 截集与截积 ===
设 <math>A</math>为 <math>U</math>上的模糊集（记作 <math>A\in \mathcal{F}(U)</math>），任取 <math>\lambda \in [0,1]</math>，则
: <math>A_\lambda = \{ u\in U\mid A(u)\geq\lambda\}</math>，

称<math>A_\lambda</math>为<math>A</math>的<math>\lambda</math>'''截集'''，而<math>\lambda</math>称为阈值或置信水平。将上式中的<math>\geq</math>替换为<math>></math>，记为<math>A_{S\lambda}</math>，称为'''强截集'''。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然<math>A_1</math>为<math>A</math>的'''核'''，即<math>\ker A</math>；如果<math>\ker A\neq \varnothing</math>，则称<math>A</math>为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：

设<math>\lambda\in [0,1]</math>，<math>A\in F(U)</math>，则<math>\forall u\in U</math>，<math>\lambda</math>与<math>A</math>的'''截积'''（或称为<math>\lambda</math>截集的'''数乘'''，记为<math>\lambda A</math>）定义为：

: <math>(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)=
\begin{cases}
    A(u), &\lambda \geq A(u),\\
    \lambda, &\lambda < A(u).
\end{cases}</math>

根据定义，截积仍是<math>U</math>上的模糊集合。

=== 分解定理与表现定理 ===

'''分解定理'''：

设<math>A\in F(U)</math>，则<br>
: <math>A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda</math><br>

即任一模糊集<math>A</math>都可以表达为一族简单模糊集<math>\left \{ \lambda a_\lambda \right \}</math>的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。

'''表现定理'''：

设<math>H</math>为<math>U</math>上的任何一个集合套，则<br>
: <math>A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda H(\lambda)</math><br>

是<math>U</math>上的一个模糊集，且<math>\forall\lambda\in [0,1]</math>，有

（1）<math>A_{S\lambda}=\cup_{\alpha>\lambda}H(\alpha)</math>

（2）<math>A_\lambda=\cap_{\alpha<\lambda}H(\alpha)</math>

即任一集合套都能拼成一个模糊集。

== 模糊度 ==
一个模糊集<math>A</math>的模糊度衡量、反映了 ''A'' 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射<math>D:F(U)\rightarrow[0,1]</math>满足下述5条性质：
# 清晰性：<math>D(A)=0</math>当且仅当<math>A\in P(U)</math>。（经典集的模糊度恒为0。）
# 模糊性：<math>D(A)=1</math>当且仅当<math>\forall u\in U</math>有<math>A(u)=0.5</math>。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
# 单调性：<math>\forall u\in U</math>，若<math>A(u)\leq B(u)\leq 0.5</math>，或者<math>A(u)\geq B(u)\geq 0.5</math>，则<math>D(A)\leq D(B)</math>。
# 对称性：<math>\forall A\in F(U)</math>，有<math>D(A^c)=D(A)</math>。（补集的模糊度相等。）
# 可加性：<math>D(A\cup B)+D(A\cap B)=D(A)+D(B)</math>。

则称<math>D</math>是定义在<math>F(U)</math>上的'''模糊度函数'''，而<math>D(A)</math>为模糊集<math>A</math>的'''模糊度'''。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的<ref>陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第20页。</ref>，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是<br /><math>
\begin{align}
D_p(A)&=\frac{2}{n^{1/p}}\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|A(u_i)-A_{0.5}(u_i)\right|^p\right)^{1/p}\\
D(A)&=\int_{-\infty}^{+\infty}|A(u)-A_{0.5}(u)|\mbox{d}u
\end{align}
</math><br />其中<math>p>0</math>是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当<math>p=1</math>的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当<math>p=2</math>的时候称为 Euclid 模糊度。

===模糊測度(Fuzzy measures)===
<math>\mathfrak{B}</math>是輿集<math>\mathrm{X}</math>的一種。

用<math>g</math>函數定義<math>\mathfrak{B}</math>，包含下列3項特性稱為模糊測度:

①<math>g(0)=0,g(\mathrm{X})=1</math>

---<math>g</math>函數代0值，表示沒有值為空值，用數學0來表示。<math>g</math>函數代<math>X</math>表示輿集全部帶進去了塞滿了，用1表示塞滿。

②若<math>A,B\in\mathfrak{B}</math>和<math>A\subseteq B</math>, 則<math>g(A)\leq g(B)</math>.

---<math>A,B</math>是屬於<math>\mathfrak{B}</math>的一部分，<math>A</math>在<math>B</math>裡面也可能跟<math>B</math>一樣大，則<math>g(A)\leq g(B)</math>

③If <math>A_{n}</math>∈<math>\mathfrak{B}</math>, <math>A_1</math>⊆<math>A_2</math>⊆…,then <math>\lim_{n \to \infty}g(A_n)=g(\lim_{n \to \infty}A_n ) </math>

---當<math>A_{n}</math>屬於<math>\mathfrak{B}</math>同時<math>A_1</math>包含於<math>A_2\subseteq\ldots</math>，則將<math>A_n</math>代入<math>g</math>函數趨小所得的值等同於先趨小<math>A_n</math>再代入<math>g</math>函數所求得的值。

===模糊量測(measures of fuzziness)===

== 模糊集的运算 ==
=== 各种算子 ===
* Zadeh 算子，<math>\max</math>即为并，<math>\min</math>即为交
<math>\begin{align}a\vee b&=\max\{a,b\}\\
a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{align}</math>

* 代数算子（概率和、代数积）
<math> \begin{align}a\stackrel{\wedge}{+} b &=a+b-ab\\
a\cdot b &= ab\end{align}</math>

* 有界算子
<math> \begin{align}a\oplus b &=\min\{1,a+b\}\\
a\odot b &= \max\{0,a+b-1\}\end{align}</math>

* Einstein 算子
<math> \begin{align}a\stackrel{+}{\epsilon} b &= \frac{a+b}{1+ab}\\
a\stackrel{\cdot}{\epsilon} b &= \frac{ab}{1+(1-a)(1-b)}\end{align}</math>

* Hamacher 算子，其中<math>\nu \in [0,+\infty)</math>是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子
<math> \begin{align}
a\stackrel{+}{\nu} b &= \frac{a+b-ab-(1-\nu)ab}{\nu+(1-\nu)(1-ab)}\\
a\stackrel{\cdot}{\nu} b &= \frac{ab}{\nu+(1-\nu)(a+b-ab)}
\end{align}
</math>

* Yager 算子，其中<math>p</math>是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子
<math> \begin{align}a\;Y_p\;b &= \min\{1,(a^p+b^p)^{1/p}\}\\
a\;y_p\;b &= 1-\min\{1,[(1-a)^p+(1-b)^p]^{1/p}\}\end{align}</math>

*<math>\lambda-\gamma</math>算子，其中<math>\lambda, \gamma \in [0,1]</math>是参数
<math> \begin{align}a\;\lambda\;b &= \lambda ab+(1-\lambda)(a+b-ab)\\
a\;\gamma\;b &= (ab)^{1-\gamma}(a-ab)^\gamma\end{align}</math>

* Dobois-Prade 算子，其中<math>\lambda \in [0,1]</math>是参数
<math> 
\begin{align}
a\vee_d b &= \frac{a+b-ab-\min\{(1-\lambda),a,b\}}{\max\{\lambda,1-a,1-b\}}\\
a\wedge_d b &= \frac{ab}{\max\{\lambda,a,b\}}
\end{align}
</math>
=== 算子的性质 ===

参见[[集合代数]]和[[布尔代数]]。

主要[[算子]]的性质对比表如下（<code>.</code>表示不满足，<code>-</code>表示未验证）：

{| class="wikitable" 
|-
!算子!!结合律!!交换律!!分配律!!互补律!!同一律!!幂等律!!支配律!!吸收律!!双重否定律!!德·摩根律
|-
!Zedah
|√  ||√  ||√       ||.    ||√    ||√    ||√     ||√    ||√      ||√
|-
! 代数
|√  ||√   ||.       ||.     ||√   ||.    ||√     ||.     ||-     ||√   
|-
! 有界
|√   ||√   ||.      ||√     ||√   ||.    ||√     ||√     ||-     ||√ 
|}

线性补偿是指：<math>
(\forall x,y,k \in [0,1])(x+k \wedge y-k\ \Rightarrow\ U(x+k,y-k)=U(x,y))
</math><ref>Etienne E. Kerre 等，模糊集理论与近似推理，武汉大学出版社，2004年，第103页。</ref>

{| class="wikitable"
|-
!算子的并运算!!幂等律!!排中律!!分配律!!结合律!!线性补偿
|-
!Zadeh
|                  √||.     ||√    ||√    ||.     
|-
!代数
|.                   ||.     ||.     ||√    ||.     
|-
!有界
|.                   ||√    ||.     ||.     ||√
|-
!Hamacher ''r'' = 0
|                   .||.     ||.     ||√    ||.
|-
!Yager
|                   .||.     ||.     ||√    ||.
|-
!Hamacher
|                   .||.     ||.     ||√    ||.
|-
!Dobois-Prade
|                   .||.     ||.     ||√    ||.
|}

== 模糊集之间的距离 ==
=== 使用度量理论 ===
可以使用一般的[[度量]]理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集<math>F(U)</math>上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到<math>[0,1]</math>区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：<br>
: <math>
\tilde{d}(x,y)=\left({1\over n}\sum\limits_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1\over p}
</math>
=== 贴近度 ===
{{main|贴近度}}
另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - ''距离''（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

*; 最大最小贴近度
: <math>\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\vee B(u_i))}</math>

*; 算术平均最小贴近度
: <math>\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{{1\over 2}\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)+B(u_i))}</math>

*; 几何平均最小贴近度
: <math>\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{A(u_i)\cdot B(u_i)}}</math>

*; 指数贴近度
: <math>\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{1}{e^{\|A-B\|}}</math>
== 參見 ==
* [[粗集合]]
* [[解模糊]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

[[Category:集合論系統]]
[[Category:模糊邏輯]]

{{集合论}}

[[de:Fuzzylogik#Unscharfe Mengen]]