模糊集

模糊集是模糊数学上的一个基本概念，是数学上普通集合的扩展。

定义

给定一个论域$U$ ，那么从$U$到单位区间$[0,1]$的一个映射${\mu }_A:U\mapsto [0,1]$称为$U$上的一个模糊集，或$U$的一个模糊子集。

表示

模糊集可以记为$A$。映射（函数）${\mu }_A(\cdot )$或简记为$A(\cdot )$叫做模糊集$A$的隶属函数。对于每个$x\in U$， ${\mu }_A(x)$叫做元素$x$对模糊集$A$的隶属度。

模糊集的常用表示法有下述几种：

1. 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
2. Zadeh记法，例如$A=\frac{1}{x_1}+\frac{0.5}{x_2}+\frac{0.72}{x_3}+\frac{0}{x_4}$。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。
3. 序偶法，例如$A=\{(x_1,1),(x_2,0.5),(x_3,0.72),(x_4,0)\}$，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。
4. 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如$A=(1,0.5,0.72,0)$。

和传统集合的关系

和傳統的集合一樣，模糊集也有它的元素，但可以談論每個元素屬於該模糊集的程度，其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由盧菲特·澤德（1965）所引進的，是經典集合論的一種推廣。在經典的集合論中，所謂的二分條件規定每個元素只能屬於或不屬於某個集合（因此模糊集不是集合）；可以說，每個元素對每個集合的歸屬性（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個歸屬函數（membership function），其值允許取閉區間$[0,1]$（單位區間）中的任何實數，用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集$A$的歸屬函數為$M$ ，而$a$、$b$、$c$為三個元素；如果$M(a)=1$，$M(b)=0$，$M(c)=\frac{1}{2}$，則可以說 「$a$完全屬於$A$」，「$b$完全不屬於$A$」，「$c$對$A$的歸屬度為$\frac{1}{2}$」（注意没有說「$c$有一半屬於$A$」，因為尚未規定$\frac{1}{2}$的歸屬度具有甚麼特殊含義）。作為特例，當歸屬函數的值只能取 0 或 1 時，就得到了傳統集合論常用的指示函数（indicator function）。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」（crisp set）。

截集与截积

设 $A$为 $U$上的模糊集（记作 $A\in ℱ(U)$），任取 $\lambda \in [0,1]$，则

$A_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\ge \lambda \}$，

称$A_{\lambda }$为$A$的$\lambda$截集，而$\lambda$称为阈值或置信水平。将上式中的$\ge$替换为$>$，记为$A_{S\lambda }$，称为强截集。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然$A_1$为$A$的核，即$\ker A$；如果$\ker A\ne \varnothing$，则称$A$为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：

设$\lambda \in [0,1]$，$A\in F(U)$，则$\mathrm{\forall }u\in U$，$\lambda$与$A$的截积（或称为$\lambda$截集的数乘，记为$\lambda A$）定义为：

$(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)=\{\begin{array}{cc}A(u),& \lambda \ge A(u),\\ \lambda ,& \lambda <A(u).\end{array}$

根据定义，截积仍是$U$上的模糊集合。

分解定理与表现定理

分解定理：

设$A\in F(U)$，则

$A=\bigcup _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }$

即任一模糊集$A$都可以表达为一族简单模糊集$\left\{\lambda a_{\lambda }\right\}$的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。

表现定理：

设$H$为$U$上的任何一个集合套，则

$A=\bigcup _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )$

是$U$上的一个模糊集，且$\mathrm{\forall }\lambda \in [0,1]$，有

（1）$A_{S\lambda }={\cup }_{\alpha >\lambda }H(\alpha )$

（2）$A_{\lambda }={\cap }_{\alpha <\lambda }H(\alpha )$

即任一集合套都能拼成一个模糊集。

模糊度

一个模糊集$A$的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射$D:F(U)\to [0,1]$满足下述5条性质：

1. 清晰性：$D(A)=0$当且仅当$A\in P(U)$。（经典集的模糊度恒为0。）
2. 模糊性：$D(A)=1$当且仅当$\mathrm{\forall }u\in U$有$A(u)=0.5$。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
3. 单调性：$\mathrm{\forall }u\in U$，若$A(u)\le B(u)\le 0.5$，或者$A(u)\ge B(u)\ge 0.5$，则$D(A)\le D(B)$。
4. 对称性：$\mathrm{\forall }A\in F(U)$，有$D(A^c)=D(A)$。（补集的模糊度相等。）
5. 可加性：$D(A\cup B)+D(A\cap B)=D(A)+D(B)$。

则称$D$是定义在$F(U)$上的模糊度函数，而$D(A)$为模糊集$A$的模糊度。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是
$\begin{array}{cc}{D}_p(A)& =\frac{2}{n^{1/p}}{\left(\sum _{i=1}^n{|A(u_i)-A_{0.5}(u_i)|}^p\right)}^{1/p}\\ D(A)& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|A(u)-A_{0.5}(u)|\text{d}u\end{array}$
其中$p>0$是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当$p=1$的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当$p=2$的时候称为 Euclid 模糊度。

模糊測度(Fuzzy measures)

$𝔅$是輿集$\mathrm{X}$的一種。

用$g$函數定義$𝔅$，包含下列3項特性稱為模糊測度:

①$g(0)=0,g(\mathrm{X})=1$

---$g$函數代0值，表示沒有值為空值，用數學0來表示。$g$函數代$X$表示輿集全部帶進去了塞滿了，用1表示塞滿。

②若$A,B\in 𝔅$和$A\subseteq B$, 則$g(A)\le g(B)$.

---$A,B$是屬於$𝔅$的一部分，$A$在$B$裡面也可能跟$B$一樣大，則$g(A)\le g(B)$

③If $A_n$∈$𝔅$, $A_1$⊆$A_2$⊆…,then $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }g(A_n)=g(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n)$

---當$A_n$屬於$𝔅$同時$A_1$包含於$A_2\subseteq \dots$，則將$A_n$代入$g$函數趨小所得的值等同於先趨小$A_n$再代入$g$函數所求得的值。

模糊集的运算

各种算子

• Zadeh 算子，$\max$即为并，$\min$即为交

$\begin{array}{cc}a\vee b& =\max \{a,b\}\\ a\wedge b& =\min \{a,b\}\end{array}$

• 代数算子（概率和、代数积）

$\begin{array}{cc}a\stackrel{\wedge }{+}b& =a+b-ab\\ a\cdot b& =ab\end{array}$

• 有界算子

$\begin{array}{cc}a\oplus b& =\min \{1,a+b\}\\ a\odot b& =\max \{0,a+b-1\}\end{array}$

• Einstein 算子

$\begin{array}{cc}a\stackrel{+}{ϵ}b& =\frac{a+b}{1+ab}\\ a\stackrel{\cdot }{ϵ}b& =\frac{ab}{1+(1-a)(1-b)}\end{array}$

• Hamacher 算子，其中$\nu \in [0,+\mathrm{\infty })$是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

$\begin{array}{cc}a\stackrel{+}{\nu }b& =\frac{a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}\\ a\stackrel{\cdot }{\nu }b& =\frac{ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}\end{array}$

• Yager 算子，其中$p$是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

$\begin{array}{cc}a{Y}_{p}b& =\min \{1,(a^p+b^p{)}^{1/p}\}\\ a{y}_{p}b& =1-\min \{1,[(1-a{)}^p+(1-b{)}^p{]}^{1/p}\}\end{array}$

• $\lambda -\gamma$算子，其中$\lambda ,\gamma \in [0,1]$是参数

$\begin{array}{cc}a\lambda b& =\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\ a\gamma b& =(ab{)}^{1-\gamma }(a-ab{)}^{\gamma }\end{array}$

• Dobois-Prade 算子，其中$\lambda \in [0,1]$是参数

$\begin{array}{cc}a{\vee }_{d}b& =\frac{a+b-ab-\min \{(1-\lambda ),a,b\}}{\max \{\lambda ,1-a,1-b\}}\\ a{\wedge }_{d}b& =\frac{ab}{\max \{\lambda ,a,b\}}\end{array}$

算子的性质

参见集合代数和布尔代数。

主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：

算子	结合律	交换律	分配律	互补律	同一律	幂等律	支配律	吸收律	双重否定律	德·摩根律
Zedah	√	√	√	.	√	√	√	√	√	√
代数	√	√	.	.	√	.	√	.	-	√
有界	√	√	.	√	√	.	√	√	-	√

线性补偿是指：$(\mathrm{\forall }x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\Rightarrow U(x+k,y-k)=U(x,y))$

算子的并运算	幂等律	排中律	分配律	结合律	线性补偿
Zadeh	√	.	√	√	.
代数	.	.	.	√	.
有界	.	√	.	.	√
Hamacher r = 0	.	.	.	√	.
Yager	.	.	.	√	.
Hamacher	.	.	.	√	.
Dobois-Prade	.	.	.	√	.

模糊集之间的距离

使用度量理论

可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集$F(U)$上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到$[0,1]$区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：

$\tilde{d}(x,y)={\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{|x_i-y_i|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}$

贴近度

Template:Main 另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

• 最大最小贴近度

$\sigma (A,B)=\frac{\sum _{i=1}^n(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum _{i=1}^n(A(u_i)\vee B(u_i))}$

• 算术平均最小贴近度

$\sigma (A,B)=\frac{\sum _{i=1}^n(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n(A(u_i)+B(u_i))}$

• 几何平均最小贴近度

$\sigma (A,B)=\frac{\sum _{i=1}^n(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum _{i=1}^n\sqrt{A(u_i)\cdot B(u_i)}}$

• 指数贴近度

$\sigma (A,B)=\frac{1}{e^{\Vert A-B\Vert }}$

參見

• 粗集合
• 解模糊