查看“︁模糊函數與韋格納分佈的關係”︁的源代码

'''模糊函數'''('''A'''mbiguity '''f'''unction,'''AF'''):<br />
<math>AF_s(\theta,\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)e^{-j\theta t}\, dt</math>

'''[[韋格納分佈]]'''('''W'''igner '''d'''istribution,'''WD'''):<br />
<math>WD_s(t,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)e^{-j\omega \tau}\, d\tau</math>

==模糊函數與韋格納分佈關係==
一個訊號s(t)，自相關函數為
<math>R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} s(t)s^*(t-\tau)\, dt</math>
如果<math>R(\tau)</math>為時間相依性(time-dependent)，則時間相依自相關(time-dependent auto-correlation)為<math>R(t,\tau)</math>，
時間相依(時變)頻譜(time-dependent spectrum)可以表示的形式類似於傳統的功率譜，即對時間相依自相關函數做傅立葉變換。<br />
<math>P(t,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} R(t,\tau)e^{-j\omega\tau}\, d\tau</math> <br />
不同的時間相依自相關會導致不同的時間相依功率譜。<br />
如果
<math>R(t,\tau)=s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)</math> 
，則時間相依功率譜變成為Wigner distribution<br />
若對<math>R(t,\tau)</math>中的t做傅立葉逆轉換，得到另一個時頻表示，'''對稱模糊函數(symmetric ambiguity function,SAF)'''<br />
<math>SAF_s(\theta,\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)e^{j\theta t}\, dt</math>
模糊函數反映信號在時間和相位的相關性，並已廣泛應用在雷達和聲納系統上。
給一個對稱模糊函數<math>SAF_s(\theta,\tau)</math>，透過傅立葉變換可以得到時間相依自相關:<br />
<math>\int_{-\infty}^{\infty} SAF_s(\theta,\tau)e^{-j\theta t}\, d\theta=s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)</math>
由上式可以推得<br />
<math>WD_s(t,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} SAF_s(\theta,\tau)e^{-j(\omega \tau+\theta t)}\, d\theta\, d\tau</math><br />
也就是對'''對稱模糊函數'''做兩次傅立葉變換可以得到Wigner distribution<br />

==範例==
一個訊號為兩個Gaussian函數的和:<br />
<math>s(t)=\sum_{i=1}^2 s_i(t)=\sum_{i=1}^2 \sqrt[4]{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\tfrac{\alpha}{2}(t-t_i)^2+j\omega_i t}</math><br />
<math>\Rightarrow SAF_s(\theta,\tau)=\sum_{i=1}^2 SAF_{si}(\theta,\tau)+SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)+SAF_{s2,s1}(\theta,\tau)</math><br />
*其中<math>SAF_{s1}(\theta,\tau),SAF_{s2}(\theta,\tau)</math>集中在原點(0,0)，而<math>SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)</math>集中在<math>(t_1-t_2,\omega_1-\omega_2)</math>，而<math>SAF_{s2,s1}(\theta,\tau)</math>相似於<math>SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)</math>，除了中心點在<math>(t_2-t_1,\omega_2-\omega_1)</math>
**<math>SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)=e^{-\tfrac{1}{4\alpha}(\theta-\omega_d)^2+\tfrac{\alpha}{4}(\tau-t_d)^2}e^{j(\omega_u \tau-\theta t_u+\omega_d t_u)}</math> , <math>t_u=\tfrac{t_1+t_2}{2}</math> , <math> \omega_u=\tfrac{\omega_1+\omega_2}{2} </math> , <math> t_d=t_1-t_2 </math> , <math> \omega_d=\omega_1-\omega_2</math>
===模糊域(ambiguity domain)的auto-term與cross-term===
從範例中得知一項重要事實，即為，在模糊域(ambiguity domain)中的auto-term總是集中在原點(0,0)，而cross-term總是在遠離原點處，所以可以用一個2D lowpass filter在模糊域中抑制cross-term的干擾，如下:<br />
<math>\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} SAF_s(\theta,\tau)\Phi(\theta,\tau)e^{-j(\theta t+\omega \tau)}\, d\theta \, d\tau</math> ,其中<math>\Phi(\theta,\tau)</math>為2D lowpass filter<br />

===兩高斯信號和之模糊函數與韋格納分佈應對關係===
如果<math>\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \Phi(\theta,\tau)\, d\theta \, d\tau=\phi(t,\omega)</math>，則<br />
<math>\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} SAF_s(\theta,\tau)\Phi(\theta,\tau)e^{-j(\theta t+\omega \tau)}\, d\theta \, d\tau</math><br />
<math>=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(x,y)WD_s(t-x,\omega-y)\, dx \, dy=SWD(t,\omega)</math><br />
*其中SWD為smoothed Wigner distribution
通常<math>\Phi(\theta,\tau)</math>( 和<math>\phi(t,\omega)</math> )當作kernal function，用來控制SWD的特性。<br />


若Wigner分佈和對稱模糊函數用大小(magnitude)及相位(phase)表示，如下:<br />
<math>WD_{s1,s2}(t,\omega)=A_{WD}(t,\omega)e^{j\varphi_{WD} (t,\omega)}</math> <br />
<math>SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)=A_{SAF}(\theta,\tau)e^{j\varphi_{SAF} (\theta,\tau)}</math> <br />
而<math>\frac{\partial}{\partial \theta} \varphi_{SAF} (\theta,\tau)=-t_u</math> , <math>\frac{\partial}{\partial \tau} \varphi_{SAF} (\theta,\tau)=\omega_u</math><br />
也就是說對'''對稱模糊函數'''的相位做偏微分，會等於Wigner分佈的時頻(time-frequency)中心。<br />
相反地，<math>\frac{\partial}{\partial \omega} \varphi_{WD} (t,\omega)=t_d</math> , <math>\frac{\partial}{\partial t} \varphi_{WD} (t,\omega)=\omega_d</math><br />
則為對Wigner分佈的相位做偏微分，會等於對稱模糊函數的中心。<br />


如果<math>\omega_1=\omega_2=\omega_0</math>，則<br />
<math>SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)=e^{-[\tfrac{1}{4\alpha}\theta^2+\tfrac{\alpha}{4}(\tau-t_d)^2]}e^{j(\omega_0 \tau-\theta t_u)}</math> <br />
會集中在<math>\tau</math>軸上。<br />


如果<math>t_1=t_2=t_0</math>，則<br />
<math>SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)=e^{-[\tfrac{1}{4\alpha}(\theta-\omega_d)^2+\tfrac{\alpha}{4}\tau^2]}e^{j[\omega_u \tau-(\theta-\omega_d)t_0]}</math> <br />
會集中在<math>\theta</math>軸上。<br />

==參考==
*Weiss, Lora G. "Wavelets and Wideband Correlation Processing". IEEE Signal Processing Magazine, pp. 13–32, Jan 1994 
*Shie Qian, ''Introduction to time-frequency and wavelet transforms'', Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, c2002
*L. Sibul, L. Ziomek, "Generalised wideband crossambiguity functiom", IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, ICASSP '81.01/05/198105/1981; 6:1239- 1242.

[[Category:信號處理]]