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{{cleanup-jargon|time=2018-12-20T12:56:33+00:00}}

在 [[交換代數|交换代数]] 中， 一个交换环上的 [[模]] <math> M </math> 的'''支撑'''是一个集合，它包含所有 <math> A </math> 上的[[素理想|理想]] <math>\mathfrak{p}</math><ref>EGA 0<sub>I</sub>, 1.7.1.</ref>，使得<math> M_\mathfrak{p} \ne 0</math>.  通常可以记为 <math>\operatorname{Supp}(M)</math>. 由定义，支撑是 <math> A </math> 的[[環的譜|谱]]的子集。

== 性质 ==

* <math> M = 0 </math> 当且仅当它的支撑是空集。

* 令 <math>0 \to M' \to M \to M'' \to 0</math> 是一个  <math> A </math> 模正合序列. 那么
*:<math>\operatorname{Supp}(M) = \operatorname{Supp}(M') \cup \operatorname{Supp}(M'').</math> 
注意这里的并集不一定是不相交的.

* 如果 <math>M</math> 是子模 <math>M_\lambda </math> 的和, 那么
<math>\operatorname{Supp}(M) = \bigcup_\lambda \operatorname{Supp}(M_\lambda).</math>

* 如果 <math>M</math>  是一个有限生成 <math>A </math> 模，那么 <math>\operatorname{Supp}(M)</math> 是的所有的包含 <math>M</math> 的消灭元所构成的素理想的集合. 特别的, 它在 <math>\operatorname{Spec} (A)</math> 的 [[扎里斯基拓扑|Zariski拓扑结构]] 中是闭的.

* 如果 <math>M, N</math> 都是有限生成 <math> A </math>-模，那么
*:<math>\operatorname{Supp}(M \otimes_A N) = \operatorname{Supp}(M) \cap \operatorname{Supp}(N).</math>

* 如果 <math>M</math> 是一个有限生成模并且 <math> I </math> 是 <math> A </math> 的理想，那么 <math>\operatorname{Supp}(M/IM)</math> 是包含 <math>I + \operatorname{Ann}(M).</math> 素理想的集合. 这也就是
<math>V(I)\cap \operatorname{Supp}(M)</math>.

== 准凝聚层的支撑 ==
如果 <math> F </math> 是[[概形 (mathematics)|概形]] ''X''上的一个 [[准凝聚层]], 层<math> F </math>的支撑是点集 ''x''∈''X'' 使得 [[茎 (sheaf)|stalk]] <math> F </math><sub>''x''</sub> 非零. 这个定义与空间 ''X''上的 [[support (mathematics)|函数的支撑]]是一致的, 这就是我们使用"支撑"这个词的动机.
模上层的支撑的大部分性质都可以一字一句地推广到准凝聚层上来. 例如, [[凝聚层]] (更一般地, 一个有限型的层) 是空间 ''X''的闭集. <ref>{{cite book|author=The Stacks Project authors|title=Stacks Project, Tag 01B4|year=2017|url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/01B4|access-date=2018-12-20|archive-date=2020-11-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20201130181332/https://stacks.math.columbia.edu/tag/01B4|dead-url=no}}</ref>


如果 <math> M </math> 是一个 <math> A </math>-模, 那么 <math> M </math> 作为模的支撑等价于 <math> M </math> 诱导的仿射概形 <math> \operatorname{Spec} (A) </math> 上的准凝聚层 <math> \tilde{M} </math> 的支撑. 另外, 如果 <math>\{ U_\alpha = \operatorname{Spec}(A_\alpha) \}</math> 
是概形 <math> X </math> 的一个仿射覆盖, 那么 <math> F </math> 作为层的支撑等价于每个 <math> A_\alpha </math>-模 <math> M_\alpha </math> 作为模的支撑的并集<ref>{{cite book|author=The Stacks Project authors|title=Stacks Project, Tag 01AS|year=2017|url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/01AS|access-date=2018-12-22|archive-date=2020-04-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20200407052118/https://stacks.math.columbia.edu/tag/01AS|dead-url=no}}</ref>. 


由正合序列
<math>
0 \to \mathcal{O}_X(-D) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_D \to 0
</math>
对于一个在[[smooth scheme|光滑]][[射影簇]] <math> X </math> 中的[[divisor (algebraic geometry)|除子]] ''D'', 如果我们令开集 <math>U = X-D</math> 则有
<math>
\mathcal{O}_X(-D)(U) \cong \mathcal{O}_X(U)
</math>, 这可以由线丛的定义得到, 并且注意到这里 <math>U \cap D = \varnothing </math>.

== 例子 ==
由前面已知, 一个素理想 <math>\mathfrak{p}</math> 在模 <math> M </math> 的支撑里, 当且仅当它包含 <math> M </math> 的消灭元<ref>{{cite book|last1=Eisenbud|first1=David|title=Commutative Algebra with a View Towards Algebraic Geometry|location=corollary 2.7|page=67}}</ref>. 来看一个例子 
:<math>
\frac{\mathbb{C}[x,y,z,w]}{(x^4 + y^4 + z^4 + w^4)} \in  \text{Mod}(\mathbb{C}[x,y,z,w])
</math>
作为模的消灭元是理想  <math>(x^4 + y^4 + z^4 + w^4)</math>. 这意味着 
<math>
\text{Supp}(M) \cong \operatorname{Spec}(\mathbb{C}[x,y,z,w]/(x^4 + y^4 + z^4 + w^4))
</math>
也就是说它的支撑是多项式 <math>x^4 + y^4 + z^4 + w^4 </math> 的零点.

现在来看短正合序列
<math>
0 \to I \to R \to R/I \to 0
</math>
我们可以认为理想
<math>(x^4 + y^4 + z^4 + w^4)</math> 
的支撑等价于
<math>
\text{Spec}(\mathbb{C}[x,y,z,w]_{(x^4 + y^4 + z^4 + w^4)})
</math>
也就是多项式零点的补集.

在specialization{{fact|date=October 2018}}意义下, 模的支撑总是闭的.

现在, 如果我们在一个整环里取两个多项式<math>f_1,f_2 \in R</math>, 使得理想 <math>(f_1,f_2)</math> 是完全交, 那么张量积的性质告诉我们
<math>
\text{Supp}\left( \frac{R}{(f_1)}\otimes_R \frac{R}{(f_2)} \right) = \text{Supp}\left( \frac{R}{(f_1)}\right) \cap \text{Supp}\left( \frac{R}{(f_2)}\right) \cong \text{Spec}(R/(f_1,f_2))
</math>

==相关参考==
*[[Associated prime]]
*[[Support (mathematics)]]


== 参考文献 ==
{{reflist}}
[[Category:模論]]