查看“︁概形”︁的源代码

'''概形'''（{{lang-en|scheme}}）是[[代數幾何|代數幾何學]]中的一個基本概念。概形是由[[亚历山大·格罗滕迪克|亞歷山大]]在他1960年的论文[[代數幾何基礎|《代數幾何基礎》]]中提出的，其中一個目的是為了解決[[代数几何]]中的一些問題，例如{{Link-en|威爾猜想|Weil conjectures}}<ref>Introduction of the first edition of "[[Éléments de géométrie algébrique]]".</ref> 。建立在[[交換代數]]的基礎之上，概形理論允許使用[[拓扑学]]、[[同調代數]]中有系統的方法。概形理論也將許多代數幾何和[[數論]]的問題統一，這也使得[[安德魯·懷爾斯|懷爾斯]]得以證明[[费马大定理|费马最后定理]]。

== 定義 ==
給定一個[[局部賦環空間]]<math>(X, \mathcal{O}_X)</math>，如果對<math>X</math>的一個開集<math>V</math>，<math>(V, \mathcal{O}_X|_V)</math>是[[仿射概形]]，稱<math>V</math>爲''仿射開集''。

一個局部賦環空間<math>(X, \mathcal{O}_X)</math>稱爲'''概形'''，如果<math>X</math>的每一點<math>x</math>都有仿射開邻域，即包含<math>x</math>的仿射開集。

直觀上說，概形是由仿射概形粘起來得到的，正如[[流形]]是由[[歐幾里得空間]]粘起來得到的。

兩個概形之間的[[態射]]就是它們作爲局部賦環空間的態射。

== 概形範疇 ==
全體概形構成[[范畴论|範疇]]，其態射取為局部賦環空間之間的態射（另見{{link-en|概形的態射|morphism of schemes}}）。給定概形<math>Y</math>，所謂<math>Y</math>'''之上'''的概形<math>X</math>（又稱<math>Y</math>-概形）即是概形間的態射<math>X \to Y</math>。交換環<math>R</math>上的概形<math>X</math>即是態射<math>X \to \operatorname{Spec}(R)</math>。

域<math>k</math>上的[[代數簇]]可定義為<math>k</math>上的滿足特定條件的概形，但對於具體何種概形可稱為簇，有不同約定，其中一種定義為<math>k</math>之上{{le|有限型態射|Morphism of finite type|有限型}}的[[整概形|整]]、[[分離概形|分離]]概形。<ref name=St020D>{{Citation | title=Stacks Project, Tag 020D | url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/020D | accessdate=2022-11-01 | archive-date=2022-11-01 | archive-url=https://web.archive.org/web/20221101223047/https://stacks.math.columbia.edu/tag/020D | dead-url=no }}.</ref>

態射<math>f: X \to Y</math>確定了正則函數環上的'''拉回同態'''<math>f^* : \mathcal O(Y) \to \mathcal O(X)</math>。對於仿射概形，此構造給出概形態射<math>\operatorname{Spec}(A) \to \operatorname{Spec}(B)</math>與環同態<math>B \to A</math>之間的一一對應。{{sfn|Hartshorne|1997|loc=Proposition II.2.3}}此意義下，概形論包含了交換環論的全部內容。

由於<math>\mathbb Z</math>是{{link-en|交換環範疇|category of commutative rings}}的[[始对象]]，概形範疇對應以<math>\operatorname{Spec}(\mathbb Z)</math>為[[終對象]]。對於交換環<math>R</math>上的概形<math>X</math>，所謂<math>X</math>的<math>R</math>值點即是態射<math>X \to \operatorname{Spec}(R)</math>的{{link-en|截面 (範疇論)|section (category theory)|截面}}，全體<math>R</math>值點的集合記作<math>X(R)</math>，其對應的古典概念是定義<math>X</math>的方程組在<math>R</math>中的解集。若<math>R</math>實為域<math>k</math>，則<math>X(k)</math>亦稱為<math>X</math>的<math>k</math>-{{link-en|有理點|rational point}}集。

推而廣之，設有交換環<math>R</math>，其上有概形<math>X</math>和交換[[域上的代数|代數]]<math>S</math>，則<math>X</math>的<math>S</math>值點定義為<math>R</math>之上的態射<math>\operatorname{Spec}(S)\to X</math>（該態射需要與射向<math>\operatorname{Spec}(R)</math>的態射組成交換圖表），<math>S</math>值點的集合記作<math>X(S)</math>。（類比到方程組的情況，相當於將某個域<math>k</math>[[域擴張|擴張]]成<math>E</math>，再考慮<math>E</math>中的解集。）固定<math>R</math>及其上的概形<math>X</math>時，映射<math>S \mapsto X(S)</math>為自交換<math>R</math>代數範疇至集合範疇的[[函子]]。<math>R</math>上的概形<math>X</math>可從此{{le|點函子|functor of points}}確定。{{sfn|Eisenbud|Harris|1998|loc=Proposition VI-2}}

{{link-en|概形的纖維積|fiber product of schemes}}總存在：對任意兩態射<math>X \to Y,  Z \to Y</math>，皆可在概形範疇內找到纖維積<math>X \times_Y Z</math>（即範疇學[[拉回 (范畴论)|拉回]]）。若<math>X, Z</math>為域<math>k</math>上的概形，則兩者在<math>\operatorname{Spec}(k)</math>上的纖維積可以視為<math>k</math>-概形範疇中的積，例如仿射空間<math>\mathbb A^m</math>與<math>\mathbb A^n</math>在<math>k</math>上之積正是<math>\mathbb A^{m+n}</math>。

由於概形範疇既有纖維積，又有終對象<math>\operatorname{Spec}(\mathbb Z)</math>，其有齊全部有限[[极限 (范畴论)|极限]]。

== 歷史 ==
概形的概念是由[[亞歷山大·格羅滕迪克]]在20世紀50年代引入的。一開始稱為“預概形”（法語：{{lang|fr|préschéma}}，英語：{{lang|en|prescheme}}），1967年左右改稱現名。

概形的中文名稱源自日文“概型”。

== 例 ==
*仿射概形的開子集不一定仿射，因此需要考慮（非仿射的）一般概形。例如，設<math>X = \mathbb A^n \setminus \{ 0\}</math>（基域取複域<math>\mathbb C</math>為例），則當<math>n \ge 2</math>時，<math>X</math>不為仿射。（但對於<math> n = 1</math>的情況，仿射直線挖去原點，同構於仿射概形<math>\operatorname{Spec} \mathbb C[x, x^{-1}]</math>。）欲證<math>X</math>非仿射，可以證出當<math> n \ge 2</math>時，<math>X</math>上的每個正則映射，皆可延拓至<math>\mathbb A^n</math>上。（對正則映射較易證明；對解析函數，則是複分析的{{link-en|哈托格斯延拓定理|Hartogs's extension theorem}}<!--《英汉数学词汇》-->）。換言之，嵌入<math>f: X \to \mathbb A^n</math>導出自<math>\mathcal O(\mathbb A^n) = \mathbb C [x_1, \ldots, x_n]</math>至<math>\mathcal O(X)</math>的環同構。假若<math>X</math>仿射，將由此得出<math>f</math>本身亦為同構，但<math>f</math>不為滿射，矛盾。因此，概形<math>X</math>不為仿射。{{sfn|Hartshorne|1997|loc=Exercises I.3.6 and III.4.3}}
* 設<math>k</math>為域，則可數積<math display="inline">\prod_{n=1}^\infty k</math>的譜<math display="inline">\operatorname{Spec}\left(\prod_{n=1}^\infty k\right)</math>為仿射概形，底下的拓撲空間為正整數集（離散）的[[斯通-切赫緊化]]，因為質理想與正整數集上的[[超滤子]]一一對應：超濾子<math>\mathcal F</math>對應質理想<p><math>\quad I = \{x \in \prod_{n=1}^\infty k : \{n \in \mathbb Z^+ : x_n = 0\} \in \mathcal F\},</math></p><p>特別地，正整數<math>n</math>對應的主超濾子，對應的質理想是<math>\{x: x_n = 0\}</math>。{{sfn|Arapura|2011|loc=section 1}}本例仿射概形為[[克鲁尔维数|零維空間]]，故而每點自成一個{{link-en|既約分支|irreducible component}}。由於仿射概形皆[[紧空间|擬緊]]，本例是擬緊但具有無窮多個既約分支的概形。（{{link-en|諾特概形|Noetherian scheme}}則與之相對，衹有有限多個既約分支。）</p>

== 參考文獻 ==
{{reflist}}
*{{cite journal | author1-last=Arapura | author1-first=Donu | title=Frobenius amplitude, ultraproducts, and vanishing on singular spaces | url=https://archive.org/details/sim_illinois-journal-of-mathematics_winter-2011_55_4/page/1367 | journal=Illinois Journal of Mathematics | volume=55 | issue=4 | year=2011 | pages=1367–1384 | mr=3082873| doi=10.1215/ijm/1373636688 | doi-access=free |ref = harv}}
*{{cite book
 | last1 = Eisenbud
 | first1 = David
 | last2 = Harris 
 | first2 = Joe
 |author-link1=David Eisenbud
 |author-link2=Joe Harris (mathematician) 
 | year = 1998
 | title = The Geometry of Schemes
 | url = https://archive.org/details/springer_10.1007-978-0-387-22639-2
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | isbn = 978-0-387-98637-1
 | mr=1730819 
 | ref = harv
}}
*{{cite book
 | last = Hartshorne
 | first = Robin
 | orig-year=1977
 | year = 1997
 | title = {{link-yue|代數幾何 (書)|代數幾何 (書)|Algebraic Geometry}}
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn = 978-0-387-90244-9
 | mr=0463157
 | author-link= Robin Hartshorne
 | ref = harv
 }}

==參見==
* 《[[代數幾何基礎]]》


{{mathstub}}

[[Category:代数几何|G]]