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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[数学]]中，'''概周期函数'''（或'''殆周期函数'''）是一类有近似于[[周期函数|周期性质]]的函数，是[[连续函數|连续]]週期函數的推廣。不同的[[周期函数]]由于周期不尽相同，其[[求和|和]]、[[差]]或[[乘积]]不一定再是周期函数。概周期函数尽管未必有严格的周期性，但可拥有一些比周期函数更好的性质。这一概念首先于1925年被丹麦数学家[[哈那德·玻尔]]引進，后来[[赫曼·外尔]]、[[亞伯蘭·薩摩洛維奇·貝西科維奇|贝西科维奇]]等人也有研究和推广<ref name="apf">{{cite book | title = Almost periodic functions | url = https://archive.org/details/almostperiodicfu0000cord | author = C. Corduneanu | publisher =American Mathematical Society | year = 1989 | isbn = 978-0-828-40331-3}}</ref>。{{le|贝西科维奇|Abram Samoilovitch Besicovitch}}因概周期函数方面的贡献获得了1931年[[剑桥大学]]的{{le|亚当斯奖|Adams Prize}}<ref>A.S. Besicovitch (1932),   ''Almost periodic functions'' , Cambridge Univ. Press</ref>。

==定义==
概週期函數有若干個等價定義。根据[[哈那德·玻尔]]引进的分析學上的定义，一个定义域在实数域上的[[连续函数]]<math>f</math> 如果满足：对任意正实数<math>\epsilon</math>，都存在实数<math>l(\epsilon) > 0</math>，使得任意长度为<math>l(\epsilon)</math> 的区间里至少存在一个数<math>t</math>，使得对于任意的<math>x \in \mathbb{R}</math>，都有：
<center><math>\left| f(x+t) - f(x)\right|< \epsilon </math><ref name="whx">{{cite journal | url = http://166.111.121.20:9080/mathjournal/GKSX702/gksx702036.caj.pdf | title = 概周期函数及其主要性质 | author = 汪宏喜 | journal = 《工科数学》 | volume = 第13卷第2期 | year = 1997 | access-date = 2010-03-18 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160304121014/http://166.111.121.20:9080/mathjournal/GKSX702/gksx702036.caj.pdf | archive-date = 2016-03-04 | dead-url = yes }}</ref></center>
在高维[[欧几里得空间]]<math>\mathbb{R}^n</math>中，也可以定义类似的概周期向量函数。

按照定义，所有周期函数都是概周期函数。

值域在復平面上的概周期函数与[[三角多项式]]函数有密切关系。[[哈那德·玻尔]]首先注意到這類型的函數是在研究有限項[[狄利克雷級數]]的時候。當把[[黎曼ζ函数]]：ζ(''s'') 截出有限項后，得到的是一些形如
<center><math>e^{(\sigma+\rm{i}t)\log n}\,</math></center>
的項。其中的<math>\sigma+\rm{i} t = s</math>。如果只考慮復平面上的一條豎直的直線（也就是說固定''s'' 的實數部份<math>\sigma</math>，而實數<math>t </math> 在正負無窮大之間變動），那麼實際上每一項變成：
<center><math>t \mapsto n^\sigma e^{(\log n)it}\, </math></center>
如果只觀察有限個這樣的函數的和（以避免<math>\sigma < 1</math> 時的[[解析开拓]]的問題），那麼由於對不同的''n''，<math>e^{(\log n)it}</math>是線性獨立的，這個和不再是一個週期函數。

在相關研究中，[[哈那德·玻尔]]開始注意形如：
<center><math>t \mapsto \sum_{k = 1}^m e^{i \lambda_k t}\, </math></center>
的[[三角多项式]]函數。它是若干個週期互不相同的週期函數<math>e^{i \lambda_k t}\, </math>的和。於是概週期函數的另一個定義出現了：如果对每个<math>\epsilon > 0</math>，都存在三角多项式函数：<math>T_{\epsilon} (x)</math>，使得对于任意的<math>x \in \mathbb{R}</math>，都有：
<center><math>\left| f(x) - T_{\epsilon} (x) \right|< \epsilon </math></center>

可以證明，這個定義與第一個定義是等價的<ref name="apf"/>。

==例子==
考虑若干[[三角多项式]]函数：
:<math>f_n : \, x \longmapsto \sum_{k=1}^n \exp(i\lambda_k x)</math>
其中<math>\lambda_k</math> 是[[複數 (數學)|复数]]。每一个<math>f_n</math> 都是周期函数，因此有限个<math>f_n</math> 的和仍然是概周期函数。然而，对于某些和函数，比如说：
:<math>f : \, x \longmapsto \exp(ix) + \exp(i \pi x)</math>
<math>f</math>不是周期函数，但仍然是概周期函数。

==性质==
*如同周期函数一样，任何概周期函数都是有界的, 且一致连续。
*如果<math>f</math> 是概周期函数，那么对于任意实数<math>a</math>，<math>f(x+a)</math>、<math>f(ax)</math>、<math>af(x)</math>、<math>|f(x)|</math> 也是概周期函数。
*如果<math>f</math> 和<math>g</math> 都是概周期函数，那么<math>f + g</math>、<math>f - g</math> 和<math>f \cdot g</math> 都是概周期函数。
*如果<math>f(x)</math> 是概周期函数，<math>H</math>是<math>f</math> 的值域到<math>\mathbb{R}</math>上的一致连续函数, 则<math>H(f(x))</math>也是概周期函数。
*如果概周期函数的序列<math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>在实轴上[[一致收敛]]于函数<math>f(x)</math> ，则<math>f(x)</math> 也是概周期函数。
*如果<math>f(x)</math> 是概周期函数, 则<math>f'(x)</math> 为概周期函数的充分必要条件是<math>f(x)</math> 的导函数<math>f'(x)</math> 一致连续。
*如果<math>f(x)</math> 是概周期函数，<math>F(x) = \int_a^x f(t)dt</math>，则<math>F(x)</math> 为概周期函数的充要条件为<math>F(x)</math> [[有界函数|有界]]<ref name="whx"/><ref name="apf"/>。

==参看==
* [[伪概周期函数]]
* [[准周期函数]]
* [[非周期函数]]
* [[傅里叶级数]]
* [[计算机音乐]]

==参考书籍==
<references/>

*A.S. Besicovitch,   "On generalized almost periodic functions"  Proc. London Math. Soc. (2) , 25  (1926)  pp. 495-512
* {{citation | first=S.|last= Bochner | title=Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen | journal=Math. Annalen | year=1926 | volume=96 | issue= | pages=119–147 | doi=10.1007/BF01209156 }}
*H. Bohr,   "Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I"  Acta Math., 45  (1925)  pp. 29–127
* H. Bohr,   "Almost-periodic functions" , Chelsea, reprint  (1947) 
*{{springer|id=A/a011970|first=E.A.|last= Bredikhina}}
*{{springer|id=b/b015820|title=Besicovitch almost periodic functions|first=E.A.|last= Bredikhina}}
*{{springer|id=b/b016770|title=Bohr almost periodic functions|first=E.A.|last= Bredikhina}}
*{{springer|id=s/s087720|title=Stepanov almost periodic functions|first=E.A.|last= Bredikhina}}
*{{springer|id=w/w097680|title=Weyl almost periodic functions|first=E.A.|last= Bredikhina}}

[[Category:函数]]