查看“︁極小多項式 (線性代數)”︁的源代码

{{Expert needed|subject=数学|time=2021-07-05T15:26:31+00:00}}
[[线性代数]]中，一个{{Math|''n'' × ''n''}}[[矩阵]]{{Mvar|A}}在[[域 (數學)|域]]{{Math|'''F'''}}上的'''最小多项式'''{{Math|''P''}}，是一個有最小的次數且首一的多項式，使得{{Math|''P''(''A'') {{=}} 0}} 。同時只要{{Math|''Q''(''A'') {{=}} 0}}，那麼{{Math|''Q''}}是{{Math|''P''}}的倍数。

以下三个敘述等價：

# {{Mvar|λ}} 是 {{Math|''μ<sub>A</sub>''}}的根
# {{Mvar|λ}} 是{{Mvar|A}}的[[特徵多項式]]的根
# {{Mvar|λ}} 是{{Mvar|A}}的[[特征值和特征向量|特徵值]]

因為{{Math|''μ<sub>A</sub>''}}是{{Mvar|m}}次多項式，所以{{Mvar|λ}}在{{Math|''μ<sub>A</sub>''}}上的重根數是不超過{{Mvar|m}} 。這導致{{Math|ker((''A'' − ''λI<sub>n</sub>'')<sup>''m''</sup>)}}<math>\supsetneqq</math>{{Math|ker((''A'' − ''λI<sub>n</sub>'')<sup>''m''−1</sup>)}} 。换句话说，将指数小於{{Mvar|m}}時，增加指數会得到更大的内核；但指數大於{{Mvar|m}}時，增加指数只会得到相同的内核。


[[Category:多項式]]
[[Category:矩陣論]]