查看“︁極大與極小元”︁的源代码

{{translating|[[:en:Maximal and minimal elements]]|time = 2022-11-02}}
{{not|最大與最小元}}
[[File:Lattice of the divisibility of 60 narrow 1,2,3,4.svg|thumb|60的[[因數]]集<math>P</math>，以整除關係為偏序，所成的[[哈斯圖]]。紅色子集<math>S = \{1, 2, 3, 4\}</math>有兩個極大元<math>3</math>、<math>4</math>和一個極小元<math>1</math>。<math>1</math>同時也是[[最小元]]。]]
[[数学]]分支[[序理论]]中，[[預序集]][[子集]]<math>S</math>的'''極大元'''（{{lang-en|maximal elements}}）不小於<math>S</math>的任何元素。'''極小元'''（{{lang|en|minimal elements}}）可{{link-en|對偶 (序理論)|Duality (order theory)|對偶地}}定義，其不大於<math>S</math>的任何元素。

極大和極小的條件比[[最大與最小元|最大和最小]]弱。預序集的子集<math>S</math>的最大元需要「大於或等於」<math>S</math>的全體元素（最小元同樣為其對偶），極大元則衹需「不小於」（例如{{le|可比較|Comparability|不可比較}}）。若將預序集限縮至[[偏序集]]，則至多衹有一個最大元和一個最小元，但極大、極小元皆可有多於一個。<ref>{{citation|title=A Discrete Transition to Advanced Mathematics|first1=Bettina|last1=Richmond|first2=Thomas|last2=Richmond|publisher=American Mathematical Society|year=2009|isbn=978-0-8218-4789-3|page=181|url=https://books.google.com/books?id=HucyKYx0_WwC&pg=PA181}}.</ref><ref>{{citation|title=Group Theory|first=William Raymond|last=Scott|edition=2nd|publisher=Dover|year=1987|isbn=978-0-486-65377-8|url=https://books.google.com/books?id=kt4o5ZTwH4wC&pg=PA22|page=22}}</ref>但在[[全序集]]上，最大等價於極大，最小亦等價於極小。

以集族
:<math>S := \left\{ \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, \{1, 2, 3, 4\}, \{2, 3, 5\} \right\}</math>
為例，其上的偏序為[[包含|包含關係]]。當中<math>\{1, 2\}</math>極小，因為不包含族中任何其他集合，反之<math>\{1, 2, 3, 4\}</math>極大，因為不被其他集合包含。<math>\{1, 2, 3\}</math>則既非極小亦非極大，但<math>\{2, 3, 5\}</math>同時為極小、極大。相比之下，<math>S</math>無[[最大元]]和[[最小元]]。

== 定義 ==

設<math>(P, \leq)</math>為[[预序集]]，又設<math>S \subseteq P</math>，則<math>S</math>中關於<math>\,\le\,</math>的極大元定義為滿足以下性質的元素<math>m \in S</math>：

:若有<math>s \in S</math>使<math>m \leq s,</math> 則必有<math>s \leq m.</math> 

與之類似，<math>S</math>中關於<math>\,\le\,</math>的{{visible anchor|極小元}}是滿足以下性質的元素<math>m \in S</math>：

:若有<math>s \in S</math>使<math>s \leq m,</math> 則必有<math>m \leq s.</math> 

等價地，亦可將<math>S</math>關於<math>\,\leq\,</math>的極小元定義為<math>S</math>關於<math>\,\geq\,</math>的極大元，其中對任意<math>p, q \in P</math>，<math>q \geq p</math>當且僅當<math>p \leq q</math>。

若無明示子集<math>S</math>，則所謂極大元預設是<math>P</math>的極大元。

若預序集<math>(P, \leq)</math>實為[[偏序关系|偏序集]]{{註|因此<math>p \le q</math>連同<math>q \le p</math>可推出<math>p = q</math>。}}，或者限縮到<math>(S, \leq)</math>是偏序集，則<math>m \in S</math>為極大當且僅當<math>S</math>無嚴格較<math>m</math>大的元素。換言之，不存在<math>s \in S</math>使<math>m \leq s</math>及<math>m \neq s.</math> 將本段的<math>\,\leq\,</math>號一律換成<math>\,\geq\,</math>就得到極小元的描述。

== 存在性 ==
極大/極小元不必存在。

*例一：考慮[[實數]]系<math>\R</math>的區間<math>S = [1, \infty) \subseteq \R</math>。對任意元素<math>m \in S</math>，<math>s = m + 1</math>仍在<math>S</math>中，但<math>m < s</math>，因此沒有元素<math>m</math>為極大。
*例二：考慮[[有理數]]系<math>\Q</math>的子集<math>S = \{ s \in \Q ~:~ 1 \leq s^2 \le 2 \}</math>，因為[[2的算術平方根#無理性|根號2是無理數]]，對任何有理數<math>m \le \sqrt 2</math>皆可找到另一有理數<math>s</math>使<math>m < s < \sqrt 2</math>。

但在某些情況下，極大/極小元保證存在。
* 若<math>S</math>為有限非空子集，則必有極大元和極小元。（對無窮子集無此結論，如[[整數]]系<math>\Z \subseteq \R</math>就沒有極大元。）
* [[佐恩引理]]斷言：「若偏序集<math>P</math>中，每個全序子集<math>S</math>皆有[[上界]]，則<math>P</math>至少有一個極大元。」此引理等價於[[良序定理]]和[[选择公理]]，<ref>{{cite book
|last=Jech
|first=Thomas
|author-link=Thomas Jech
|title=The Axiom of Choice
|year=2008
|orig-year=originally published in 1973
|publisher={{link-en|Dover Publications}}
|isbn=978-0-486-46624-8
}}</ref>在數學的多個分支有重要推論，例如可證任何向量空間皆有[[基 (線性代數)|基]]（極大的代數無關子集），或是任何[[域 (数学)|域]]皆有[[代數閉包]]（[[代數擴張]]偏序下的極大元）。

== 唯一性 ==
{{Expand section}}

極大/極小元不必唯一。

== 各領域例子 ==
* [[帕累托效率]]中，「帕累托最優」的狀態即是[[帕累托改善]]偏序下的極大元，此類極大元的集合又稱為「帕累托前緣」<!--https://ww2.mathworks.cn/help/optim/ug/generate-and-plot-a-pareto-front.html-->（{{lang|en|Pareto frontier}}）。
* [[决策论]]中，{{link-en|可容決策規則|admissible decision rule}}<!--https://terms.naer.edu.tw/detail/d3a998e53f487ebee1f536c11fb35c9c/?seq=1 -->是{{link-en|優勢決策規則|dominating decision rule|優勢}}偏序下的極大元。
* [[现代投资组合理论]]中，風險（以低為優）與回報（以高為優）的{{link-en|積序|product order}}{{註|name=積序|定義為：<math>(a, b) \le (c, d)</math>當且僅當<math>a \le c</math>且<math>b \le d</math>。高維情形亦同。}}下，極大元稱為效率投資組合（{{lang|en|efficient portfolio}}），組成的集合則為{{link-en|效率前緣|efficient frontier}}<!--https://terms.naer.edu.tw/detail/7819f39428b9535cfb23110ffa171ef1/?startswith=zh&seq=1 -->。
* [[集合论]]中，某集合為[[有限集合|有限]]當且僅當其任意非空[[子集]][[集合族|族]]（以[[包含]]關係為偏序）皆有極小元。{{註|若有元素<math>a_0, a_1, \ldots</math>，則集族<math>\left\{\{a_0, a_1, a_2, \ldots \}, \{a_1, a_2, \ldots\}, \{a_2, \ldots \}, \ldots \right\}</math>無極小元。}}
* [[抽象代数]]中，需要將[[最大公因數]]的概念推廣為{{link-en|極大公因子|maximal common divisor}}，因為某些數系中，若干個元素的公因子集合可能有多於一個極大元（整除意義下）。
* [[计算几何]]中，{{link-en|點集的極大元|maxima of a point set}}是逐分量比較{{註|name=積序}}下的極大元。

== 註 ==
{{備註表}}

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

[[Category:序理论]]