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'''椭圆型偏微分方程'''（{{lang-en|Elliptic partial differential equation}}）是一类二阶[[線性微分方程|線性]][[偏微分方程]]，形式为：
: <math>Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + Fu +G= 0\,</math>

并满足
:<math>B^2 - AC < 0.\ </math>

其中{{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}}, {{math|''D''}}, {{math|''E''}}, {{math|''F''}}, and {{math|''G''}}是{{math|''x''}}和{{math|''y''}}的函數，<math>u_x=\frac{\partial u}{\partial x}</math>, <math>u_{xy}=\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}</math>，<math> u_{xx},u_y,u_{yy}</math>的定義也類似

其名稱是源自[[橢圓形]]的方程式。

最簡單的椭圆型偏微分方程是[[拉普拉斯方程]]，<math>\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0</math>，以及[[泊松方程]]，<math>\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).</math>。其他所有的雙變數椭圆型偏微分方程都是這兩種方式的擴展，而且一定可以透過變數變換<ref name="pinchover">{{cite book |last1=Pinchover |first1=Yehuda| last2=Rubinstein| first2=Jacob |date=2005 |title=An Introduction to Partial Differential Equations |location=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-84886-2|url=https://books.google.com/books?id=CnvDS9twvUMC&q=elliptic}}</ref><ref name= "Zauderer">{{cite book|last=Zauderer|first=Erich|date=1989|title=Partial Differential Equations of Applied Mathematics|location=New York |publisher=John Wiley&Sons | isbn=0-471-61298-7}}</ref>，轉換為以下的標準形。

:<math>u_{xx}+u_{yy}+\text{  (lower-order terms)}=0 </math>

==参见==
*[[椭圆算子]]
*[[抛物型偏微分方程]]
*[[双曲型偏微分方程]]
*[[偏微分方程#二阶偏微分方程|二阶偏微分方程]]
==参考文献==
{{reflist}}
{{数学分析小条目}}
[[Category:橢圓型偏微分方程]]