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{{微积分学}}
[[Image:trapezoidal rule illustration.png|right|thumb|[[線性]][[函數]]（紅色）會作用估算[[函數]]<math>f(x)</math> （藍色）。]]

'''梯形公式'''是[[數學]]中[[数值积分]]的基础公式之一：<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}.</math>

==公式由来==
由[[积分中值定理]]可得

<math>\exists \xi \in [a,b]  \int\limits_{a}^{b} f(x) dx = (b-a)f(\xi) </math>，

但由于ξ其值一般难于确定，故难以准确算出<math>f(\xi)</math>的值。

如果用两端点<math>f(a)</math>与<math>f(b)</math>的[[算术平均值]]估算<math>f(\xi)</math>，有

<math>\int\limits_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)] </math>，

这就是梯形公式。

类似地，如果用区间中点<math>c=\frac{a+b}{2} </math>其高度<math>f(c)</math>取代<math>f(\xi)</math>，从而有'''中矩形公式'''

<math>\int\limits_{a}^{b} f(x) dx \approx (b-a)f(\frac{a+b}{2}) </math>。

== 复合求积公式 ==

===每一區間相同===
[[Image:Trapezoidal rule illustration small.svg|right|thumb|梯形公式的示意圖（長度相同的區間）。]]
為了計算出更加準確的[[定積分]]，可以把[[積分]]的區間<math>[a, b]</math>分成<math>N</math>份，當中<math>N</math>趨向[[無限]]，分割出的每一個區間長度必定要是一樣的，然後就可以應用梯形公式：
:<math>\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{N} \left[ {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{N-1} f \left( a+k \frac{b-a}{N} \right) \right].</math>

亦可以寫成：

:<math>\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2N} \left(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2)+\cdots+2f(x_{N-1}) + f(x_N) \right)</math>

當中

: <math>x_k=a+k \frac{b-a}{N},\text{ for }k=0, 1, \dots, N</math>

其余项为

<math> R_n(f)=-\frac{b-a}{12}h^2f''(\eta) , \eta \in (a,b)</math>

當區間的長度並不相同時，這一條公式便不能使用。

===每一區間並不相同===
[[Image:Composite trapezoidal rule illustration.png|right|thumb|梯形公式的示意圖（長度不相同的區間）]]

給予<math>x_1,\ldots,x_N</math>以及<math>y_1,\ldots,y_N</math>，[[定积分|定積分]]就可以估算成
:<math>\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{1}{2} \sum_{i=2}^{N} (x_i-x_{i-1})(y_i+y_{i-1})</math>,
 
當中

:<math>y_i=f(x_i)</math>.

==誤差分析==
應用梯形公式的誤差值是真值數字與運用梯形公式結果的差異：
:<math> \text{error} = \int_a^b f(x)\,dx - \frac{b-a}{N} \left[ {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{N-1} f \left( a+k \frac{b-a}{N} \right) \right]</math>

如果 <math>(a,b)</math>中存在一個實數<math>\xi</math>，那麼
:<math> \text{error} = -\frac{(b-a)^3}{12N^2} f''(\xi)</math>

对于中矩形公式，其误差类似的有：

<math> \text{error} = -\frac{(b-a)^3}{24} f''(\xi)</math>

如果[[被積函數]]是一個[[凸函數]]（亦即有一個正值[[二階導數]]），那麼誤差會是一個負數，也代表梯形公式的估算值高估了真實數字。這可以利用一個幾何圖形代去表達：梯形不但覆蓋曲線下的面積更超越其範圍。同樣地，如果被積函數是一個[[凹函數]]，梯形公式就會低估其真實數字因為曲線下部份面積沒有被計算在內。如果被積函數中有[[拐點]]。它的錯誤是比較難去估計。

一般而言有數種方法可以去分析誤差，例如是：[[傅利葉級數]]。

在<math>N\rightarrow\infty</math>的情況下，趨向性的估計誤差是：
:<math> \text{error} = -\frac{(b-a)^2}{12N^2} \big[ f'(b)-f'(a) \big] + O(N^{-3}). </math>


[[Category:数值积分]]

== 参考文献 ==

* 《数值分析》，清华大学出版社，李庆扬等编，书号ISBN 978-7-302-18565-9
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