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{{Expert needed|subject=数学|time=2021-10-16T02:03:14+00:00}}
[[File:Congettura Mertens.png|thumb|right|图示为[[梅滕斯函數|梅滕斯函数]]的前10000项与默滕斯猜想中的界限<math>\pm \sqrt{n}</math>。梅滕斯在計算梅滕斯函數的前一萬個值之後，猜想<math>M(n)</math>的絕對值恆小於<math>\sqrt{n}</math>，此猜想被安德鲁·奥德里兹科（Andrew Odlyzko）与赫尔曼·特里尔（Herman te Riele）于1985年证否]]
'''梅滕斯猜想'''是[[数论]]中的一个猜想，是有關數論中[[梅滕斯函数]]上下界的猜想，由[[汤姆斯·斯蒂尔吉斯]]在一封于1885年写给[[夏尔·埃尔米特]]与[[弗朗茨·梅滕斯]]（Franz Mertens）的信中提出。这一猜想如果成立的话可以推出[[黎曼猜想]]，不过已被{{link-en|安德鲁·奥德里兹科|Andrew Odlyzko}}与{{link-en|赫尔曼·特里尔|Herman te Riele}}于1985年证否。

== 定义 ==
数论中，有[[梅滕斯函数]]

:<math>M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)</math>

其中，<math>\mu(k)</math>表示[[默比乌斯函数]]。则梅滕斯猜想是指，对所有<math>n > 1</math>，有

:<math>\left| M(n) \right| < \sqrt { n }.\,</math>

== 猜想的證否 ==
[[湯姆斯·斯蒂爾吉斯]]在1885年聲稱已證明比梅滕斯猜想要弱的結果，也就是<math>m(n) \equiv M(n)/\sqrt{n}</math>[[有界函数|有界]]，但其結果沒有發表<ref>{{cite book |editor1-last=Borwein |editor1-first=Peter  |editor2-last=Choi |editor2-first=Stephen |editor3-last=Rooney |editor3-first=Brendan |editor4-last=Weirathmueller |editor4-first=Andrea |title=The Riemann hypothesis. A resource for the aficionado and virtuoso alike |series=CMS Books in Mathematics |location=New York, NY | publisher=施普林格科学+商业媒体 |year=2007 |isbn=978-0-387-72125-5 |zbl=1132.11047 |page=69}}</ref>（若用<math> m(n) </math>的方式表示，梅滕斯猜想是指<math> -1 < m(n) < 1 </math>）

{{link-en|安德鲁·奥德里兹科|Andrew Odlyzko}}与{{link-en|赫尔曼·特里尔|Herman te Riele}}在1985年證否了梅滕斯猜想，用的是{{le|LLL格缩减算法|Lenstra–Lenstra–Lovász lattice basis reduction algorithm}}<ref>Odlyzko & te Riele (1985)</ref><ref name=HBI1889>Sandor et al (2006) pp.188–189</ref>：
:<math>\liminf~m(n) < -1.009\quad</math> and <math>\quad\limsup~m(n) > 1.06~</math>
之後也證實了第一個[[反例]]小於 <math>~e^{3.21\times10^{64}} \approx 10^{1.39\times10^{64}}~</math><ref>Pintz (1987)</ref>，大於10<sup>16</sup><ref>{{cite arXiv |last=Hurst |first=Greg |date=2016 |title=Computations of the Mertens function and improved bounds on the Mertens conjecture |eprint=1610.08551 |class=math.NT}}</ref>，後來的上限已降到<math>~e^{1.59\times10^{40}}~</math><ref>Kotnik and Te Riele (2006)</ref>或近似<math>~10^{6.91\times10^{39}}~,</math>，但還沒找到確切的反例數值。

==參考資料==
{{reflist}}
== 参考文献 ==
* T. Kotnik and Herman te Riele (2006), "[http://www.springerlink.com/content/q0717243567v503t/ The Mertens Conjecture Revisited]{{Dead link|date=2020年2月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}", ''Lecture Notes in Computer Science'' '''4076''' (''Proceedings of the 7th Algorithmic Number Theory Symposium''), pp. 156-167.
* T. Kotnik and J. van de Lune (2004), "[https://web.archive.org/web/20070403143340/http://expmath.org/expmath/volumes/13/13.4/Kotnik.pdf On the order of the Mertens function]", ''Experimental Mathematics'' '''13''', pp. 473-481
* F. Mertens (1897), "Über eine zahlentheoretische Funktion", ''Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a'', '''106''', pp. 761-830. 
* {{Citation | last1=Odlyzko | first1=A. M. | last2=te Riele | first2=H. J. J. | title=Disproof of the Mertens conjecture | url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/mertens.disproof.pdf | doi=10.1515/crll.1985.357.138 | id={{MathSciNet | id = 783538}} | year=1985 | journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik | issn=0075-4102 | volume=357 | pages=138–160 | accessdate=2012-09-08 | archive-date=2015-09-12 | archive-url=https://web.archive.org/web/20150912022420/http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/mertens.disproof.pdf | dead-url=no }}
*{{citation|first= T. J.|last= Stieltjes|chapter= Lettre a Hermite de 11 juillet 1885, Lettre #79|pages= 160–164 |editor-first=B.|editor-last= Baillaud 
|editor2-first= H.|editor2-last= Bourget|title=Correspondance d’Hermite et Stieltjes|place= Paris|publisher= Gauthier—Villars|year= 1905}}
* {{mathworld|urlname=MertensConjecture|title=Mertens conjecture}}
* {{citation | editor1-last=Sándor | editor1-first=József | editor2-last=Mitrinović | editor2-first=Dragoslav S. | editor3-last=Crstici |editor3-first=Borislav | title=Handbook of number theory I  | location=Dordrecht | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2006 | isbn=1-4020-4215-9 | zbl=1151.11300 | pages=187–189 }}
* {{cite journal | last1 = Pintz | first1 = J. | year = 1987 | title = An effective disproof of the Mertens conjecture | url = http://www.numdam.org/article/AST_1987__147-148__325_0.pdf | journal = Astérisque | volume = 147–148 | pages = 325–333 | zbl = 0623.10031 | access-date = 2021-10-16 | archive-date = 2021-04-15 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210415180539/http://www.numdam.org/article/AST_1987__147-148__325_0.pdf | dead-url = no }}

[[Category:数论]]
[[Category:已證否的猜想]]