梅滕斯猜想

图示为梅滕斯函数的前10000项与默滕斯猜想中的界限$\pm \sqrt{n}$。梅滕斯在計算梅滕斯函數的前一萬個值之後，猜想$M(n)$的絕對值恆小於$\sqrt{n}$，此猜想被安德鲁·奥德里兹科（Andrew Odlyzko）与赫尔曼·特里尔（Herman te Riele）于1985年证否

梅滕斯猜想是数论中的一个猜想，是有關數論中梅滕斯函数上下界的猜想，由汤姆斯·斯蒂尔吉斯在一封于1885年写给夏尔·埃尔米特与弗朗茨·梅滕斯（Franz Mertens）的信中提出。这一猜想如果成立的话可以推出黎曼猜想，不过已被Template:Link-en与Template:Link-en于1985年证否。

定义

数论中，有梅滕斯函数

$M(n)=\sum _{1\le k\le n}\mu (k)$

其中，$\mu (k)$表示默比乌斯函数。则梅滕斯猜想是指，对所有$n>1$，有

$|M(n)|<\sqrt{n}.$

猜想的證否

湯姆斯·斯蒂爾吉斯在1885年聲稱已證明比梅滕斯猜想要弱的結果，也就是$m(n)\equiv M(n)/\sqrt{n}$有界，但其結果沒有發表（若用$m(n)$的方式表示，梅滕斯猜想是指$-1<m(n)<1$）

Template:Link-en与Template:Link-en在1985年證否了梅滕斯猜想，用的是Template:Le：

$\mathrm{lim\; inf}m(n)<-1.009$ and $\mathrm{lim\; sup}m(n)>1.06$

之後也證實了第一個反例小於 $e^{3.21\times 10^{64}}\approx 10^{1.39\times 10^{64}}$，大於10¹⁶，後來的上限已降到$e^{1.59\times 10^{40}}$或近似$10^{6.91\times 10^{39}},$，但還沒找到確切的反例數值。

参考文献

• T. Kotnik and Herman te Riele (2006), "The Mertens Conjecture RevisitedTemplate:Dead link", Lecture Notes in Computer Science 4076 (Proceedings of the 7th Algorithmic Number Theory Symposium), pp. 156-167.
• T. Kotnik and J. van de Lune (2004), "On the order of the Mertens function", Experimental Mathematics 13, pp. 473-481
• F. Mertens (1897), "Über eine zahlentheoretische Funktion", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a, 106, pp. 761-830.
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