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[[數學]]上，設<math>\delta \geq 0</math>為一常數，則一個[[度量空間]]<math>X</math>是'''格羅莫夫(Gromov)δ-雙曲空間'''，簡稱'''δ-雙曲空間'''，如果<math>X</math>中任意四點<math>p,x,y,z</math>都符合不等式

::<math>(x, z)_{p} \geq \min \big\{ (x, y)_{p}, (y, z)_{p} \big\} - \delta</math>

其中<math>(x, y)_{p}</math>是<math>x,y</math>對基點<math>p</math>的[[格羅莫夫積]]。若δ的實際數值不重要時，也可稱作'''格羅莫夫雙曲空間'''或'''雙曲空間'''。以上是[[米哈伊爾·格羅莫夫]]的定義，因為不須用到[[測地線]]，故可以用於一般的度量空間。

一個'''測地'''度量空間是格羅莫夫雙曲的，當且僅當存在常數<math>\delta \geq 0</math>，使得每個測地三角形（三邊都是測地線段的三角形）都是δ-瘦，即是三角形每一邊上任何一點，距離另外兩邊其中一邊少於δ。

以上的δ-瘦條件由[[以利亞·里普斯]](Eliyahu Rips)給出，此外又有數種等價條件<ref name="GH">É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), ''Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov.'' Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.</ref>。格羅莫夫定義中的δ未必等於里普斯條件的δ，但如果一個測地度量空間符合格羅莫夫定義中的δ-雙曲性，則它符合里普斯4δ-瘦條件；反之若這空間符合里普斯δ-瘦條件，則符合格羅莫夫定義的8δ-雙曲性。<ref name="GH" />

==例子==
* [[樹 (圖論)|樹]]是0-雙曲空間，因為其上任何三角形都是退化的。
* 有限[[直徑]]的度量空間都是雙曲空間。
* 設<math>X, Y</math>為測地度量空間，<math>f:X \to Y</math>是一個[[擬等距同構|擬等距映射]]，如果<math>Y</math>是雙曲空間，那麼<math>X</math>也是雙曲空間。
* 若<math>X</math>是負[[曲率]]的[[緊緻]][[黎曼流形]]，那麼其[[萬有覆疊空間]]<math>\widetilde X</math>是雙曲空間，而<math>X</math>的[[基本群]]<math>\pi_1 (X)</math>賦予[[字度量]]後可以擬等距映射到<math>\widetilde X</math>（[[施瓦茨－米爾諾引理]]），所以也是雙曲空間。<math>\pi_1 (X)</math>因此是[[雙曲群]]。

==理想邊界==
設''X''是一個格羅莫夫雙曲空間，<math>(x_i)</math>為''X''中一個序列。如果
:當<math>i,j\to\infty</math>時，<math>(x_i,x_j)_p\to\infty</math>，
稱<math>(x_i)</math>'''收斂於無窮'''。其中''p''是''X''中某個定點，<math>(x_i,x_j)_p</math>是<math>x_i,x_j</math>對基點''p''的[[格羅莫夫積]]。

對收斂於無窮的序列<math>(x_i)</math>定義一個[[等價關係]]如下：<math>(x_i)\sim(y_i)</math>，如果
:當<math>i,j\to\infty</math>時，<math>(x_i,y_j)_p\to\infty</math>。
由這些[[等價類]]構成的集合稱為''X''的'''理想邊界'''<math>\partial X</math>。

注意上述條件都不依賴於基點''p''，因為格羅莫夫積對''p''是1-[[利普希茨連續]]的，即是若將''p''換作另一點''q''，則任兩點的格羅莫夫積以''q''為基點時的值，與以''p''為基點時的值，相差不超過''p''和''q''的距離。

若序列<math>(x_i)</math>在等價類<math>a\in\partial X</math>內，那麼稱<math>x_i \to a</math>。這樣就在<math>X \cup \partial X</math>上定義了一個[[拓撲]]，使得''X''在<math>X \cup \partial X</math>內是[[稠密]]的。

===等價定義===
設格羅莫夫雙曲空間''X''是[[測地線|測地]]和[[常態空間|常態]]的，其理想邊界有等價定義如下：

# 一個映射<math>f:[0,\infty)\to X</math>稱為'''擬射線'''，如果''f''是一個[[擬等距同構|擬等距嵌入]]。對''X''中的擬射線定義等價關係：兩條擬射線等價，若二者的[[豪斯多夫距離]]是有限的。那麼由擬射線的等價類構成的集合是''X''的理想邊界。
# 選取''X''中任何一點''w''為基點。對所有從''w''點出發的[[測地線|測地射線]]，定義如上一項所述的等價關係。則由這些測地射線的等價類構成的集合是''X''的理想邊界。


==參見==
*[[雙曲群]]


==參考==
{{reflist}}

[[Category:度量幾何]]